En la teoría del nudo , un nudo toroidal es un tipo especial de nudo que se encuentra en la superficie de un toro no anudado en R 3 . De manera similar, un enlace de toro es un enlace que se encuentra en la superficie de un toro de la misma manera. Cada nudo torus se especifica por un par de coprimos números enteros p y q . Un enlace torus surge si p y q no son primos entre sí (en cuyo caso el número de componentes es gcd ( p, q )). Un nudo toro es trivial (equivalente al desanudo) si y solo sio bien p o q es igual a 1 o -1. El ejemplo no trivial más simple es el nudo (2,3) -torus, también conocido como nudo de trébol .
Representación geométrica
Un nudo toroidal se puede representar geométricamente de múltiples formas que son topológicamente equivalentes (ver Propiedades a continuación) pero geométricamente distintas. La convención utilizada en este artículo y sus figuras es la siguiente.
El nudo ( p , q ) -toro se enrolla q veces alrededor de un círculo en el interior del toro, yp veces alrededor de su eje de simetría rotacional . {Tenga en cuenta que este uso de los roles de pyq es contrario a lo que aparece en: http://mathworld.wolfram.com/TorusKnot.html También es incompatible con la "Lista" de nudos de toro a continuación y con las imágenes que aparecer en:. "36 torus Nudos", el nudo Atlas} Si p y q no son primos entre sí, entonces tenemos un enlace toro con más de un componente.
La dirección en la que las hebras del nudo se envuelven alrededor del toro también está sujeta a diferentes convenciones. Lo más común es que las hebras formen un tornillo a la derecha para pq> 0 . [1] [2] [3]
El nudo ( p , q ) -torus puede estar dado por la parametrización
dónde y . Esto se encuentra en la superficie del toro dado por(en coordenadas cilíndricas ).
También son posibles otras parametrizaciones, porque los nudos se definen hasta la deformación continua. Las ilustraciones de los nudos (2,3) - y (3,8) -torus se pueden obtener tomando, y en el caso del nudo (2,3) -torus restando además respectivamente y a partir de las parametrizaciones anteriores de x e y . Este último se generaliza suavemente a cualquier coprimo p, q satisfaciendo.
Propiedades
Un nudo toro es trivial si y sólo si o bien p o q es igual a 1 o -1. [2] [3]
Cada nudo de toro no trivial es primo [4] y quiral . [2]
El nudo toro ( p , q ) es equivalente al nudo toro ( q , p ). [1] [3] Esto se puede probar moviendo las hebras en la superficie del toro. [5] El nudo del toro ( p , - q ) es el anverso (imagen especular) del nudo del toro ( p , q ). [3] El nudo toroidal (- p , - q ) es equivalente al nudo toroidal ( p , q ) excepto por la orientación inversa.
Cualquier nudo ( p , q ) -torus se puede hacer a partir de una trenza cerrada con p hebras. La palabra trenzada apropiada es [6]
(Esta fórmula asume la convención común de que los generadores de trenzas son giros a la derecha, [2] [6] [7] [8] que no es seguida por la página de Wikipedia sobre trenzas).
El número de cruce de un nudo toroidal ( p , q ) con p , q > 0 viene dado por
- c = mínimo (( p −1) q , ( q −1) p ).
El género de un nudo toro con p , q > 0 es
El polinomio de Alexander de un nudo toro es [1] [6]
El polinomio de Jones de un nudo toroidal (diestro) está dado por
El complemento de un nudo toroidal en las 3 esferas es un colector de fibras de Seifert, fibrado sobre el disco con dos fibras singulares.
Sea Y el casquete de burro plegado p con un disco retirado del interior, Z el casquete de burro plegado q con un disco quitado su interior, y X el espacio del cociente obtenido al identificar Y y Z a lo largo de su círculo límite. El complemento nudo de la ( p , q ) -torus nudo deformación se retrae al espacio X . Por lo tanto, el grupo de nudos de un nudo toro tiene la presentación
Los nudos torus son los únicos nudos cuyos grupos de nudos tienen un centro no trivial (que es cíclico infinito, generado por el elemento en la presentación anterior).
El factor de estiramiento del nudo toroidal ( p , q ), como una curva en el espacio euclidiano , es Ω (min ( p , q )), por lo que los nudos toroides tienen factores de estiramiento ilimitados. El investigador universitario John Pardon ganó el Premio Morgan 2012 por su investigación que demuestra este resultado, que resolvió un problema originalmente planteado por Mikhail Gromov . [9] [10]
Conexión a hipersuperficies complejas
Los nudos ( p , q ) −torus surgen cuando se considera el vínculo de una singularidad de hiperesuperficie compleja aislada. Se cruza la hiperesuperficie compleja con una hiperesfera , centrada en el punto singular aislado, y con un radio suficientemente pequeño para que no encierre ni encuentre ningún otro punto singular. La intersección da una subvariedad de la hiperesfera.
Deje que p y q sean números primos entre sí, mayor o igual a dos. Considere la función holomorfa dada por Dejar ser el conjunto de tal que Dado un número real definimos las tres esferas reales dado por La función tiene un punto crítico aislado en desde si y solo si Por tanto, consideramos la estructura de cerca de Para hacer esto, consideramos la intersección Esta intersección es el llamado vínculo de la singularidad El enlace de , Donde p y q son primos entre sí, y tanto mayor que o igual a dos, es exactamente el ( p , q ) -torus nudo. [11]
Lista
La figura de la derecha es el enlace toroidal (72,4).
- Unknot , 3 1 nudo (3,2), 5 1 nudo (5,2), 7 1 nudo (7,2), 8 19 nudo (4,3), 9 1 nudo (9,2), 10 124 nudo (5,3)
Tabla # | AB | Imagen | PAG | Q | Cruz # |
---|---|---|---|---|---|
0 | 0 1 | 0 | |||
3a1 | 3 1 | 3 | 2 | 3 | |
5a2 | 5 1 | 5 | 2 | 5 | |
7a7 | 7 1 | 7 | 2 | 7 | |
8n3 | 8 19 | 4 | 3 | 8 | |
9a41 | 9 1 | 9 | 2 | 9 | |
10n21 | 10 124 | 5 | 3 | 10 | |
11a367 | 11 | 2 | 11 | ||
13a4878 | 13 | 2 | 13 | ||
7 | 3 | 14 | |||
5 | 4 | 15 | |||
15 | 2 | 15 | |||
8 | 3 | dieciséis | |||
17 | 2 | 17 | |||
19 | 2 | 19 | |||
10 | 3 | 20 | |||
7 | 4 | 21 | |||
21 | 2 | 21 | |||
11 | 3 | 22 | |||
23 | 2 | 23 | |||
6 | 5 | 24 | |||
25 | 2 | 25 | |||
13 | 3 | 26 | |||
9 | 4 | 27 | |||
27 | 2 | 27 | |||
7 | 5 | 28 | |||
14 | 3 | 28 | |||
29 | 2 | 29 | |||
31 | 2 | 31 | |||
8 | 5 | 32 | |||
dieciséis | 3 | 32 | |||
11 | 4 | 33 | |||
33 | 2 | 33 | |||
17 | 3 | 34 | |||
7 | 6 | 35 | |||
35 | 2 | 35 | |||
9 | 5 | 36 | |||
8 | 7 | 48 | |||
9 | 7 | 54 | |||
9 | 8 | 63 |
g -torus nudo
Un nudo toro-g es una curva cerrada dibujada en un toro-g . Más técnicamente, es la imagen homeomórfica de un círculo en S³ que se puede realizar como un subconjunto de un cuerpo de asa del género g en S³ . Si un enlace es un subconjunto de un cuerpo de dos mangos de género, es un enlace de doble toro . [12]
Para el género dos, el ejemplo más simple de un nudo de toro doble que no es un nudo de toro es el nudo en forma de ocho . [13] [14]
Ver también
- Nudo alterno
- Bobinado irracional de un toro
- Topopolis
Referencias
- ↑ a b c Livingston, Charles (1993). Teoría del nudo . Asociación Matemática de América. pag. [ página necesaria ] . ISBN 0-88385-027-3.
- ^ a b c d Murasugi, Kunio (1996). Teoría de nudos y sus aplicaciones . Birkhäuser. pag. [ página necesaria ] . ISBN 3-7643-3817-2.
- ^ a b c d Kawauchi, Akio (1996). Una encuesta sobre la teoría de los nudos . Birkhäuser. pag. [ página necesaria ] . ISBN 3-7643-5124-1.
- ^ Norwood, FH (1 de enero de 1982). "Cada nudo de dos generadores es primordial" . Actas de la American Mathematical Society . 86 (1): 143-147. doi : 10.1090 / S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2044414 .
- ^ Baker, Kenneth (28 de marzo de 2011). "pq es q p" . Bocetos de topología . Consultado el 9 de noviembre de 2020 .
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- ^ Birman, JS; Brendle, TE (2005). "Trenzas: una encuesta". En Menasco, W .; Thistlethwaite, M. (eds.). Manual de teoría de nudos . Elsevier. pag. [ página necesaria ] . ISBN 0-444-51452-X.
- ^ Kehoe, Elaine (abril de 2012), "2012 Morgan Prize", Notices of the American Mathematical Society , 59 (4), págs. 569–571, doi : 10.1090 / noti825.
- ^ Perdón, John (2011), "Sobre la distorsión de nudos en superficies incrustadas", Annals of Mathematics , Second Series, 174 (1), págs. 637–646, arXiv : 1010.1972 , doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.21 , Señor 2811613
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- ^ Rolfsen, Dale (1976). Nudos y eslabones . Publish or Perish, Inc. pág. [ página necesaria ] . ISBN 0-914098-16-0.
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- ^ Norwood, Frederick (noviembre de 1989). "Curvas sobre superficies". Topología y sus aplicaciones . 33 (3): 241–246. doi : 10.1016 / 0166-8641 (89) 90105-3 .
enlaces externos
- " 36 Torus Nudos ", The Knot Atlas .
- Weisstein, Eric W. "Torus Knot" . MathWorld .
- Procesador de nudos torus en Actionscript
- Diversión con el nudo PQ-Torus