Esta es una lista de algunas de las transformaciones de coordenadas más utilizadas.
Sean ( x , y ) las coordenadas cartesianas estándar y ( r , θ ) las coordenadas polares estándar .
A coordenadas cartesianas
Desde coordenadas polares
Desde coordenadas log-polares
Usando números complejos , la transformación se puede escribir como
Es decir, viene dada por la función exponencial compleja.
Desde coordenadas bipolares
Desde coordenadas bipolares de 2 centros
De la ecuación de Cesàro
A coordenadas polares
Desde coordenadas cartesianas
Nota: resolviendo para devuelve el ángulo resultante en el primer cuadrante (). Encontrar, uno debe referirse a la coordenada cartesiana original, determinar el cuadrante en el que miente (por ejemplo, (3, −3) [cartesiano] se encuentra en QIV), luego use lo siguiente para resolver para :
- Para en QI:
- Para en QII:
- Para en QIII:
- Para en QIV:
El valor de debe resolverse de esta manera porque para todos los valores de , solo se define para , y es periódica (con período ). Esto significa que la función inversa solo dará valores en el dominio de la función, pero restringidos a un solo período. Por lo tanto, el rango de la función inversa es solo la mitad de un círculo completo.
Tenga en cuenta que también se puede utilizar
Desde coordenadas bipolares de 2 centros
Donde 2 c es la distancia entre los polos.
Para registrar coordenadas polares a partir de coordenadas cartesianas
Longitud y curvatura del arco
En coordenadas cartesianas
En coordenadas polares
Sean (x, y, z) las coordenadas cartesianas estándar y (ρ, θ, φ) las coordenadas esféricas , con θ el ángulo medido desde el eje + Z (como [1] , ver convenciones en coordenadas esféricas ). Como φ tiene un rango de 360 °, se aplican las mismas consideraciones que en las coordenadas polares (bidimensionales) cada vez que se toma un arcotangente. θ tiene un rango de 180 °, que va de 0 ° a 180 °, y no presenta ningún problema cuando se calcula a partir de un arcocoseno, pero tenga cuidado con un arctangente.
Si, en la definición alternativa, θ se elige para que se extienda de −90 ° a + 90 °, en la dirección opuesta a la definición anterior, se puede encontrar únicamente a partir de un arcoseno, pero tenga cuidado con un arcocotangente. En este caso, en todas las fórmulas siguientes, todos los argumentos en θ deberían tener el seno y el coseno intercambiados, y como derivada también un más y un menos intercambiados.
Todas las divisiones por cero dan como resultado casos especiales de direcciones a lo largo de uno de los ejes principales y, en la práctica, se resuelven más fácilmente mediante la observación.
A coordenadas cartesianas
De coordenadas esféricas
Entonces, para el elemento de volumen:
Desde coordenadas cilíndricas
Entonces, para el elemento de volumen:
A coordenadas esféricas
Desde coordenadas cartesianas
Consulte también el artículo sobre atan2 para saber cómo manejar con elegancia algunos casos extremos .
Entonces, para el elemento:
Desde coordenadas cilíndricas
A coordenadas cilíndricas
Desde coordenadas cartesianas
De coordenadas esféricas
Longitud del arco, curvatura y torsión a partir de coordenadas cartesianas