En geodesia , la conversión entre diferentes sistemas de coordenadas geográficas es necesaria debido a los diferentes sistemas de coordenadas geográficas que se utilizan en todo el mundo y a lo largo del tiempo. La conversión de coordenadas se compone de varios tipos diferentes de conversión: cambio de formato de coordenadas geográficas, conversión de sistemas de coordenadas o transformación a diferentes datums geodésicos . La conversión de coordenadas geográficas tiene aplicaciones en cartografía , topografía , navegación y sistemas de información geográfica .
En geodesia, la conversión de coordenadas geográficas se define como la traducción entre diferentes formatos de coordenadas o proyecciones de mapas, todos referenciados al mismo datum geodésico. [1] Una transformación de coordenadas geográficas es una traslación entre diferentes datums geodésicos. En este artículo se considerarán tanto la conversión como la transformación de coordenadas geográficas.
Este artículo asume que los lectores ya están familiarizados con el contenido de los artículos, sistema de coordenadas geográficas y datum geodésico .
Cambio de unidades y formato
De manera informal, especificar una ubicación geográfica generalmente significa dar la latitud y longitud de la ubicación . Los valores numéricos de latitud y longitud pueden presentarse en varias unidades o formatos diferentes: [2]
- grado sexagesimal : grados , minutos y segundos : 40 ° 26 ′ 46 ″ N 79 ° 58 ′ 56 ″ W
- grados y minutos decimales: 40 ° 26.767 ′ N 79 ° 58.933 ′ W
- grados decimales: +40.446 -79.982
Hay 60 minutos en un grado y 60 segundos en un minuto. Por lo tanto, para convertir de un formato de grados, minutos y segundos a un formato de grados decimales, se puede usar la fórmula
- .
Para volver a convertir del formato de grados decimales al formato de grados, minutos, segundos,
Conversión del sistema de coordenadas
Una conversión de sistema de coordenadas es una conversión de un sistema de coordenadas a otro, con ambos sistemas de coordenadas basados en el mismo datum geodésico. Las tareas de conversión comunes incluyen la conversión entre coordenadas geodésicas y centradas en la Tierra, fijadas en la Tierra ( ECEF ) y la conversión de un tipo de proyección de mapa a otro.
De coordenadas geodésicas a ECEF
Coordenadas geodésicas (latitud , longitud , altura ) se puede convertir en coordenadas ECEF utilizando la siguiente ecuación: [3]
dónde
y y son el radio ecuatorial ( semieje mayor ) y el radio polar ( semieje menor ), respectivamente.es el cuadrado de la primera excentricidad numérica del elipsoide. El radio de curvatura vertical principal es la distancia desde la superficie al eje Z a lo largo de la normal elipsoide (consulte " Radio de curvatura en la Tierra ").
La siguiente ecuación es válida para la longitud de la misma manera que en el sistema de coordenadas geocéntricas:
Y la siguiente ecuación es válida para la latitud:
dónde , como parámetro se elimina restando
y
La ortogonalidad de las coordenadas se confirma mediante diferenciación:
dónde
(ver también " Arco de meridiano en el elipsoide ").
De ECEF a coordenadas geodésicas
La conversión de las coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas (como WGS84) es la misma que la geocéntrica para la longitud:
- .
La conversión para la latitud implica un cálculo un poco complicado y se sabe que se resuelve utilizando varios métodos que se muestran a continuación. Sin embargo, es sensible a una pequeña precisión debido a y estando quizás a 10 6 de distancia. [4] [5]
Método de Newton-Raphson
La siguiente ecuación de latitud geodésica irracional de Bowring [6] es eficiente para ser resuelta por el método de iteración de Newton-Raphson : [7] [8]
dónde La altura se calcula como:
La iteración se puede transformar en el siguiente cálculo:
dónde
El constante es un buen valor inicial para la iteración cuando . Bowring demostró que una sola iteración produce una solución suficientemente precisa. Usó funciones trigonométricas adicionales en su formulación original.
La solución de Ferrari
La ecuación cuártica de , derivado de lo anterior, se puede resolver con la solución de Ferrari [9] [10] para producir:
La aplicación de la solución de Ferrari
Hay varias técnicas y algoritmos disponibles, pero el más preciso, según Zhu, [11] es el siguiente procedimiento establecido por Heikkinen, [12] citado por Zhu. Se supone que los parámetros geodésicos son conocidos
Nota: arctan2 [Y, X] es la función tangente inversa de cuatro cuadrantes.
Serie de potencia
Para pequeños e 2 la serie power
comienza con
Geodésico a / desde coordenadas ENU
La conversión de coordenadas geodésicas a coordenadas del plano tangente local (ENU) es un proceso de dos etapas:
- Convertir coordenadas geodésicas en coordenadas ECEF
- Convertir coordenadas ECEF a coordenadas ENU locales
De ECEF a ENU
Para transformar las coordenadas ECEF a las coordenadas locales, necesitamos un punto de referencia local, que normalmente puede ser la ubicación de un radar. Si hay un radar en y un avión en entonces el vector que apunta desde el radar a la aeronave en el marco ENU es
Nota: es la latitud geodésica . Una versión anterior de esta página mostraba el uso de la latitud geocéntrica (). La latitud geocéntrica no es la dirección ascendente apropiada para el plano tangente local. Si la latitud geodésica original está disponible, debe usarse; de lo contrario, la relación entre la latitud geodésica y geocéntrica tiene una dependencia de la altitud y es capturada por:
La obtención de latitud geodésica a partir de coordenadas geocéntricas de esta relación requiere un enfoque de solución iterativo; de lo contrario, las coordenadas geodésicas se pueden calcular mediante el enfoque en la sección anterior denominada "Desde ECEF a coordenadas geodésicas".
La longitud geocéntrica y geodésica tienen el mismo valor. Esto es cierto para la Tierra y otros planetas de forma similar porque sus líneas de latitud (paralelos) se pueden considerar en círculos perfectos de mucho más grado en comparación con sus líneas de longitud (meridianos).
Nota: Determinación inequívoca de y requiere saber en qué cuadrante se encuentran las coordenadas.
De ENU a ECEF
Esta es solo la inversión de la transformación ECEF a ENU, por lo que
Conversión a través de proyecciones de mapas
La conversión de coordenadas y posiciones de mapa entre diferentes proyecciones de mapas, la referencia al mismo datum se puede lograr mediante fórmulas de traducción directa de una proyección a otra, o convirtiendo primero a partir de una proyección. a un sistema de coordenadas intermedio, como ECEF, luego convertir de ECEF a proyección . Las fórmulas involucradas pueden ser complejas y en algunos casos, como en la conversión ECEF a geodésica anterior, la conversión no tiene una solución de forma cerrada y se deben usar métodos aproximados. Referencias como el Manual técnico de DMA 8358.1 [13] y el documento de USGS Map Projections: A Working Manual [14] contienen fórmulas para la conversión de proyecciones de mapas. Es común usar programas de computadora para realizar tareas de conversión de coordenadas, como con el programa GEOTRANS compatible con DoD y NGA. [15]
Transformaciones de datum
Las transformaciones entre datums se pueden lograr de varias formas. Hay transformaciones que convierten directamente las coordenadas geodésicas de un datum a otro. Hay más transformaciones indirectas que convierten de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF, transforman las coordenadas ECEF de un datum a otro y luego transforman las coordenadas ECEF del nuevo datum de nuevo a coordenadas geodésicas. También hay transformaciones basadas en cuadrículas que se transforman directamente de un par (datum, proyección de mapa) a otro par (datum, proyección de mapa).
Transformación de Helmert
Uso de la transformada de Helmert en la transformación a partir de coordenadas geodésicas de datum a las coordenadas geodésicas del datum ocurre en el contexto de un proceso de tres pasos: [16]
- Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para datum
- Aplicar la transformada de Helmert, con el apropiado transformar parámetros, transformar a partir de datum Coordenadas ECEF al datum Coordenadas ECEF
- Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para datum
En términos de vectores ECEF XYZ, la transformada de Helmert tiene la forma [16]
La transformación de Helmert es una transformación de siete parámetros con tres parámetros de traducción (desplazamiento) , tres parámetros de rotación y un parámetro de escala (dilatación) . La transformada de Helmert es un método aproximado que es preciso cuando los parámetros de la transformada son pequeños en relación con las magnitudes de los vectores ECEF. En estas condiciones, la transformada se considera reversible. [17]
Una transformada de Helmert de catorce parámetros, con dependencia temporal lineal para cada parámetro, [17] : 131-133 se puede utilizar para capturar la evolución temporal de las coordenadas geográficas debidas a procesos geomórficos , como la deriva continental. [18] y terremotos. [19] Esto se ha incorporado a un software, como la herramienta de posicionamiento dependiente del tiempo horizontal (HTDP) de la NGS de EE. UU. [20]
Transformación de Molodensky-Badekas
Para eliminar el acoplamiento entre las rotaciones y traslaciones de la transformada de Helmert, se pueden introducir tres parámetros adicionales para dar un nuevo centro de rotación XYZ más cercano a las coordenadas que se están transformando. Este modelo de diez parámetros se denomina transformación de Molodensky-Badekas y no debe confundirse con la transformación de Molodensky más básica. [17] : 133-134
Al igual que la transformación de Helmert, el uso de la transformación de Molodensky-Badekas es un proceso de tres pasos:
- Convertir de coordenadas geodésicas a coordenadas ECEF para datum
- Aplicar la transformada de Molodensky-Badekas, con la adecuada transformar parámetros, transformar a partir de datum Coordenadas ECEF al datum Coordenadas ECEF
- Convertir de coordenadas ECEF a coordenadas geodésicas para datum
La transformación tiene la forma [21]
dónde es el origen de las transformadas de rotación y escala y es el factor de escala.
La transformada de Molodensky-Badekas se utiliza para transformar los datums geodésicos locales en un datum geodésico global, como WGS 84. A diferencia de la transformada de Helmert, la transformada de Molodensky-Badekas no es reversible debido a que el origen rotacional está asociado con el datum original. [17] : 134
Transformación de Molodensky
La transformación de Molodensky convierte directamente entre sistemas de coordenadas geodésicas de diferentes datums sin el paso intermedio de conversión a coordenadas geocéntricas (ECEF). [22] Requiere los tres cambios entre los centros de referencia y las diferencias entre los semiejes mayores del elipsoide de referencia y los parámetros de aplanamiento.
La transformada de Molodensky es utilizada por la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial (NGA) en su estándar TR8350.2 y el programa GEOTRANS compatible con NGA. [23] El método Molodensky era popular antes del advenimiento de las computadoras modernas y el método es parte de muchos programas geodésicos.
Método basado en cuadrículas
Las transformaciones basadas en cuadrículas convierten directamente las coordenadas del mapa de un par (proyección de mapa, datum geodésico) a coordenadas de mapa de otro par (proyección de mapa, datum geodésico). Un ejemplo es el método NADCON para transformar del datum norteamericano (NAD) 1927 al datum NAD 1983. [24] La Red de referencia de alta precisión (HARN), una versión de alta precisión de las transformadas NADCON, tiene una precisión de aproximadamente 5 centímetros. La versión 2 de National Transformation ( NTv2 ) es una versión canadiense de NADCON para la transformación entre NAD 1927 y NAD 1983. Los HARN también se conocen como NAD 83/91 y High Precision Grid Networks (HPGN). [25] Posteriormente, Australia y Nueva Zelanda adoptaron el formato NTv2 para crear métodos basados en cuadrículas para transformar entre sus propios datums locales.
Al igual que la transformación de ecuaciones de regresión múltiple, los métodos basados en cuadrículas utilizan un método de interpolación de bajo orden para convertir las coordenadas del mapa, pero en dos dimensiones en lugar de tres. La NOAA proporciona una herramienta de software (como parte del kit de herramientas geodésicas de NGS) para realizar transformaciones NADCON. [26] [27]
Ecuaciones de regresión múltiple
Se crearon transformaciones de datos mediante el uso de métodos empíricos de regresión múltiple para lograr resultados de mayor precisión en regiones geográficas pequeñas que las transformaciones estándar de Molodensky. Las transformaciones de MRE se utilizan para transformar datums locales en regiones de tamaño continental o más pequeñas en datums globales, como WGS 84. [28] El estándar NIMA TM 8350.2, Apéndice D, [29] enumera las transformaciones de MRE de varios datums locales a WGS 84, con precisiones de unos 2 metros. [30]
Los MRE son una transformación directa de coordenadas geodésicas sin un paso ECEF intermedio. Coordenadas geodésicas en el nuevo dato se modelan como polinomios de hasta el noveno grado en las coordenadas geodésicas del dato original . Por ejemplo, el cambio enpodría parametrizarse como (con sólo hasta términos cuadráticos mostrados) [28] : 9
dónde
con ecuaciones similares para y . Dado un número suficiente depares de coordenadas para puntos de referencia en ambos datums para obtener buenas estadísticas, se utilizan métodos de regresión múltiple para ajustar los parámetros de estos polinomios. Los polinomios, junto con los coeficientes ajustados, forman las ecuaciones de regresión múltiple.
Ver también
- Sistema de coordenadas de Gauss-Krüger
- Lista de proyecciones cartográficas
- Sistema de referencia espacial
- Sistema de coordenadas topocéntricas
- Sistema de coordenadas estereográficas polares universales
- Sistema de coordenadas universal transversal de Mercator
Referencias
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