Esta es una lista de fórmulas que se encuentran en la geometría de Riemann .
Símbolos de Christoffel, derivada covarianteEn un gráfico de coordenadas uniforme , los símbolos de Christoffel del primer tipo están dados por
y los símbolos de Christoffel del segundo tipo por
Aquí es la matriz inversa al tensor métrico. En otras palabras,
y por lo tanto
es la dimensión de la variedad .
Los símbolos de Christoffel satisfacen las relaciones de simetría
- o, respectivamente, ,
el segundo de los cuales es equivalente a la ausencia de torsión de la conexión Levi-Civita .
Las relaciones de contratación en los símbolos de Christoffel están dadas por
y
donde | g | es el valor absoluto del determinante del tensor métrico. Estos son útiles cuando se trata de divergencias y laplacianos (ver más abajo).
La derivada covariante de un campo vectorial con componentes es dado por:
y de manera similar la derivada covariante de un - campo tensorial con componentes es dado por:
Para - campo tensorial con componentes esto se convierte en
e igualmente para tensores con más índices.
La derivada covariante de una función (escalar) es solo su diferencial habitual:
Debido a que la conexión Levi-Civita es compatible con métricas, las derivadas covariantes de las métricas desaparecen,
así como las derivadas covariantes del determinante de la métrica (y elemento de volumen)
La geodésica comenzando en el origen con velocidad inicial tiene expansión de Taylor en la tabla:
Tensores de curvaturaDefiniciones
Tensor de Ricci sin rastro
(4,0) Tensor de curvatura de Riemann
Identidades
Vea Pruebas que involucran símbolos de Christoffel para algunas pruebas.
Simetrías básicas
El tensor de Weyl tiene las mismas simetrías básicas que el tensor de Riemann, pero su 'análogo' del tensor de Ricci es cero:
El tensor de Ricci, el tensor de Einstein y el tensor de Ricci sin trazas son 2-tensores simétricos:
Primera identidad Bianchi
Segunda identidad Bianchi
Segunda identidad Bianchi contratada
Segunda identidad Bianchi contraída dos veces
Equivalentemente:
Identidad Ricci
Si es un campo vectorial entonces
que es solo la definición del tensor de Riemann. Si es una forma entonces
De manera más general, si es un campo de tensión (0, k) entonces
Un resultado clásico dice que si y solo si es localmente conforme plana, es decir, si y solo si puede cubrirse con gráficos de coordenadas suaves con respecto a los cuales el tensor métrico es de la forma para alguna función en el gráfico.
Gradiente, divergencia, operador de Laplace-BeltramiProducto Kulkarni – NomizuEl producto Kulkarni – Nomizu es una herramienta importante para construir nuevos tensores a partir de tensores existentes en un colector Riemanniano. Dejar y Ser 2-tensores covariantes simétricos. En coordenadas,
Luego, podemos multiplicarlos en cierto sentido para obtener un nuevo tensor covariante de 4, que a menudo se denota . La fórmula definitoria es
Claramente, el producto satisface
En un marco inercialCambio conformal Dejar ser una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana en una variedad suave , y una función suave de valor real en . Luego
es también una métrica de Riemann en . Nosotros decimos eso es (puntual) conforme a . Evidentemente, la conformidad de las métricas es una relación de equivalencia. Aquí hay algunas fórmulas para cambios conformes en tensores asociados con la métrica. (Las cantidades marcadas con una tilde se asociarán con, mientras que los que no estén marcados con ellos se asociarán con .)
Conexión Levi-Civita
(4,0) Tensor de curvatura de Riemann
- dónde
Utilizando el producto Kulkarni – Nomizu :
Tensor de Ricci
Curvatura escalar
- Si esto se puede escribir
Tensor de Ricci sin rastro
(3,1) Curvatura de Weyl
- para cualquier campo de vector
Forma de volumen
Operador Hodge en formularios p
Codiferencial en formas p
Laplaciano en funciones
Hodge Laplacian en formas p
Segunda forma fundamental de inmersión
Suponer es riemanniano y es una inmersión doblemente diferenciable. Recuerde que la segunda forma fundamental es, para cada un mapa bilineal simétrico que se valora en el -subespacio lineal ortogonal a Luego
- para todos
Aquí denota el -proyección ortogonal de sobre la -subespacio lineal ortogonal a
Curvatura media de una inmersión
En el mismo escenario que el anterior (y supongamos tiene dimensión ), recuerde que el vector de curvatura media es para cada un elemento definido como el -traza de la segunda forma fundamental. Luego
Tenga en cuenta que esta fórmula de transformación es para el vector de curvatura media y la fórmula para la curvatura media en el caso de hipersuperficie es
dónde es un campo vectorial normal (local).
Fórmulas de variaciónDejar sé un colector suave y deja ser una familia de un parámetro de métricas riemanannianas o pseudo-riemannianas. Suponga que es una familia diferenciable en el sentido de que para cualquier gráfico de coordenadas suaves, las derivadasexisten y son en sí mismos tan diferenciables como sea necesario para que las siguientes expresiones tengan sentido. Denotar como una familia de un parámetro de campos simétricos de 2 tensores.
Símbolo principalLos cálculos de la fórmula de variación anteriores definen el símbolo principal del mapeo que envía una métrica pseudo-Riemanniana a su tensor de Riemann, tensor de Ricci o curvatura escalar.
- El símbolo principal del mapa asigna a cada uno un mapa del espacio de tensores simétricos (0,2) en al espacio de (0,4) -tensores en dada por
- El símbolo principal del mapa asigna a cada uno un endomorfismo del espacio de 2 tensores simétricos en dada por
- El símbolo principal del mapa asigna a cada uno un elemento del espacio dual al espacio vectorial de 2-tensores simétricos en por
Ver tambiénReferencias- Arthur L. Besse. "Variedades de Einstein". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 10. Springer-Verlag, Berlín, 1987. xii + 510 págs. ISBN 3-540-15279-2