Este artículo contiene pruebas de fórmulas en geometría riemanniana que involucran los símbolos de Christoffel .
Identidades Bianchi contratadas
Prueba
Comience con la identidad Bianchi [1]
Contrae ambos lados de la ecuación anterior con un par de tensores métricos :
El primer término de la izquierda se contrae para producir un escalar de Ricci, mientras que el tercer término se contrae para producir un tensor de Ricci mixto ,
Los dos últimos términos son los mismos (índice de cambio de maniquí n a m ) y se pueden combinar en un único término que se mueve a la derecha,
que es lo mismo que
Intercambiar las etiquetas de índice l y m produce
La divergencia covariante del tensor de Einstein desaparece
Prueba
La última ecuación en la demostración anterior se puede expresar como
donde δ es el delta de Kronecker . Dado que el delta de Kronecker mixto es equivalente al tensor métrico mixto,
y dado que la derivada covariante del tensor métrico es cero (por lo que puede moverse dentro o fuera del alcance de dicha derivada), entonces
Factoriza la derivada covariante
luego eleve el índice m en todo
La expresión entre paréntesis es el tensor de Einstein , así que [1]
esto significa que la divergencia covariante del tensor de Einstein desaparece.
La derivada de Lie de la métrica
Prueba
Comenzando con la fórmula de coordenadas locales para un campo de tensor simétrico covariante, la derivada de Lie a lo largo de un campo vectorial es
aquí, la notación significa tomar la derivada parcial con respecto a la coordenada. QED ( volver al artículo )
Ver también
Referencias
Libros
- Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2 / e ed.). Westview (Perseo). ISBN 978-0-8133-4080-7.
- Lovelock, David ; Rund, Hanno (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
- Synge JL, Schild A. (1949). Cálculo de tensor . Primera edición de Dover Publications 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.
- JR Tyldesley (1975), Introducción al análisis de tensores: para ingenieros y científicos aplicados , Longman, ISBN 0-582-44355-5
- DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 0-07-033484-6
- T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.a ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601