El momento de inercia , denotado por I , mide la medida en que un objeto resiste la aceleración rotacional alrededor de un eje particular , y es el análogo rotacional de la masa (que determina la resistencia de un objeto a la aceleración lineal ). Los momentos de inercia de la masa tienen unidades de dimensión ML 2 ([masa] × [longitud] 2 ). No debe confundirse con el segundo momento de área , que se utiliza en los cálculos de vigas. El momento de inercia de la masa a menudo también se conoce como inercia rotacional y, a veces, como masa angular..
Para objetos simples con simetría geométrica, a menudo se puede determinar el momento de inercia en una expresión exacta de forma cerrada . Normalmente, esto ocurre cuando la densidad de masa es constante, pero en algunos casos la densidad también puede variar en todo el objeto. En general, puede que no sea sencillo expresar simbólicamente el momento de inercia de formas con distribuciones de masa más complicadas y sin simetría. Al calcular los momentos de inercia, es útil recordar que es una función aditiva y explotar los teoremas del eje paralelo y del eje perpendicular .
Este artículo considera principalmente distribuciones de masa simétricas, con densidad constante en todo el objeto, y se considera que el eje de rotación pasa por el centro de masa a menos que se especifique lo contrario.
Momentos de inercia
A continuación se muestran momentos escalares de inercia. En general, el momento de inercia es un tensor , ver más abajo.
Descripción | Figura | Momentos de inercia |
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Punto de masa M a una distancia r del eje de rotación. Una masa puntual no tiene un momento de inercia alrededor de su propio eje, pero usando el teorema del eje paralelo se logra un momento de inercia alrededor de un eje de rotación distante. | ||
Dos masas puntuales, m 1 y m 2 , de masa reducida μ y separadas por una distancia x , alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del sistema y es perpendicular a la línea que une las dos partículas. | ||
Varilla delgada de longitud L y masa m , perpendicular al eje de rotación, girando alrededor de su centro. Esta expresión asume que la varilla es un alambre infinitamente delgado (pero rígido). Este es un caso especial de la placa rectangular delgada con el eje de rotación en el centro de la placa, con w = L y h = 0. | [1] | |
Varilla delgada de longitud L y masa m , perpendicular al eje de rotación, girando alrededor de un extremo. Esta expresión asume que la varilla es un alambre infinitamente delgado (pero rígido). Este es también un caso especial de la placa rectangular delgada con el eje de rotación en el extremo de la placa, con h = L y w = 0. | [1] | |
Bucle circular delgado de radio r y masa m . Este es un caso especial de un toro para a = 0 (ver más abajo), así como de un tubo cilíndrico de paredes gruesas con extremos abiertos, con r 1 = r 2 y h = 0. | ||
Disco sólido delgado de radio r y masa m . Este es un caso especial del cilindro sólido, con h = 0. Esoes una consecuencia del teorema del eje perpendicular . | ||
Un anillo uniforme (disco con un agujero concéntrico) de masa m , radio interior r 1 y radio exterior r 2 | ||
Un anillo con una densidad de área constante | ||
Carcasa cilíndrica delgada con extremos abiertos, de radio r y masa m . Esta expresión asume que el grosor del caparazón es insignificante. Es un caso especial del tubo cilíndrico de paredes gruesas para r 1 = r 2 . Además, una masa puntual m en el extremo de una varilla de longitud r tiene este mismo momento de inercia y el valor r se llama radio de giro . | [1] | |
Cilindro macizo de radio r , altura hy masa m . Este es un caso especial del tubo cilíndrico de paredes gruesas, con r 1 = 0. | [1] | |
Tubo cilíndrico de paredes gruesas con extremos abiertos, de radio interior r 1 , radio exterior r 2 , longitud hy masa m . | [1] [2] | |
Con una densidad de ρ y la misma geometría nota: esto es para un objeto con una densidad constante |
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Tetraedro regular de lado sy masa m | ||
Octaedro regular de lado sy masa m | [3] [3] | |
Dodecaedro regular de lado sy masa m | (dónde ) [3] | |
Iicosaedro regular de lado sy masa m | ||
Esfera hueca de radio r y masa m . | [1] | |
Esfera sólida (bola) de radio r y masa m . | [1] | |
Esfera (caparazón) de radio r 2 y masa m , con cavidad esférica centrada de radio r 1 . Cuando el radio de la cavidad r 1 = 0, el objeto es una bola sólida (arriba). Cuando r 1 = r 2 ,, y el objeto es una esfera hueca. | [1] | |
Derecha circular cono con un radio r , la altura h y la masa m | [4] Sobre un eje que pasa por la punta: | |
Derecha circular cono hueco con el radio r , la altura h y la masa m | [4] [4] | |
Torus con radio menor a , radio mayor by masa m . | Sobre un eje que pasa por el centro y es perpendicular al diámetro: [5] Aproximadamente un diámetro: [5] | |
Elipsoide (sólido) de semiejes a , b , y c con masa m | ||
Plato rectangular delgado de altura h , ancho w y masa m (Eje de rotación al final del plato) | ||
Plato rectangular delgado de altura h , ancho w y masa m (Eje de rotación en el centro) | [1] | |
Placa rectangular delgada de radio r [a] y masa m (Eje de rotación a lo largo de un lado de la placa) | ||
Cuboide sólido de altura h , ancho w y profundidad d , y masa m . Para un cubo de orientación similar con lados de longitud, | ||
Cuboide sólido de altura D , ancho W y largo L , y masa m , que gira alrededor de la diagonal más larga. Para un cubo con lados , . | ||
Inclinado sólido en forma de paralelepípedo de la profundidad d , la anchura w , y la longitud l , y la masa m , la rotación alrededor del eje vertical (eje y como se ve en la figura). Para un cubo con lados , . | [6] | |
Triángulo con vértices en el origen y en P y Q , de masa m , que gira alrededor de un eje perpendicular al plano y pasa por el origen. | ||
Polígono plano con vértices P 1 , P 2 , P 3 , ..., P N y masa m uniformemente distribuida en su interior, girando alrededor de un eje perpendicular al plano y pasando por el origen. | ||
Polígono regular plano con n vértices y masa m uniformemente distribuida en su interior, girando alrededor de un eje perpendicular al plano y pasando por su baricentro . R es el radio del círculo circunscrito . | [7] | |
Un triángulo isósceles de masa M , ángulo de vértice 2β y longitud de lado común L (eje a través de la punta, perpendicular al plano) | [7] | |
Disco infinito con masa distribuida en una distribución gaussiana bivariada en dos ejes alrededor del eje de rotación con densidad de masa en función del vector de posición |
Lista de tensores de inercia 3D
Esta lista de tensores de momento de inercia se da para los ejes principales de cada objeto.
Para obtener los momentos escalares de inercia I anteriores, el momento tensorial de inercia I se proyecta a lo largo de algún eje definido por un vector unitario n según la fórmula:
donde los puntos indican la contracción del tensor y se usa la convención de suma de Einstein . En la tabla anterior, n sería la unidad base cartesiana e x , e y , e z para obtener I x , I y , I z respectivamente.
Descripción | Figura | Momento de tensor de inercia |
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Esfera sólida de radio r y masa m | ||
Esfera hueca de radio r y masa m |
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Elipsoide sólido de semiejes a , b , c y masa m | ||
Cono circular recto de radio r , altura hy masa m , alrededor del ápice | ||
Cuboide macizo de ancho w , altura h , profundidad d y masa m | ||
Varilla delgada a lo largo del eje y de longitud ly masa m alrededor del extremo |
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Varilla delgada a lo largo del eje y de longitud ly masa m alrededor del centro |
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Cilindro macizo de radio r , altura hy masa m |
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Tubo cilíndrico de paredes gruesas con extremos abiertos, de radio interior r 1 , radio exterior r 2 , longitud hy masa m |
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Ver también
- Lista de segundos momentos del área
- Teorema del eje paralelo
- Teorema del eje perpendicular
Notas
- ^ Ancho perpendicular al eje de rotación (lado de la placa); la altura (paralela al eje) es irrelevante.
Referencias
- ↑ a b c d e f g h i Raymond A. Serway (1986). Física para científicos e ingenieros (2ª ed.). Editorial Saunders College. pag. 202 . ISBN 0-03-004534-7.
- ^ Mecánica clásica: momento de inercia de un cilindro hueco uniforme. Archivado el 7 de febrero de 2008 en la Wayback Machine . LivePhysics.com. Consultado el 31 de enero de 2008.
- ^ a b c d e Satterly, John (1958). "Los momentos de inercia de algunos poliedros". La Gaceta Matemática . Asociación matemática. 42 (339): 11-13. doi : 10.2307 / 3608345 . JSTOR 3608345 .
- ^ a b c d Ferdinand P. Beer y E. Russell Johnston, Jr (1984). Mecánica vectorial para ingenieros, cuarta ed . McGraw-Hill. pag. 911. ISBN 0-07-004389-2.
- ^ a b Eric W. Weisstein . "Momento de inercia - Anillo" . Wolfram Research . Consultado el 14 de diciembre de 2016 .
- ^ A. Panagopoulos y G. Chalkiadakis. Momento de inercia de cuboides potencialmente inclinados. Informe técnico, Universidad de Southampton, 2015.
- ^ a b David Morin (2010). Introducción a la mecánica clásica: con problemas y soluciones; primera edición (8 de enero de 2010) . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 320 . ISBN 978-0521876223.
enlaces externos
- El tensor de inercia de un tetraedro
- Tutorial sobre cómo derivar el momento de inercia para formas comunes