En teoría de números , el teorema de Lochs es un teorema relacionado con la tasa de convergencia de la expansión fraccionaria continua de un número real típico. Gustav Lochs publicó una prueba del teorema en 1964. [1]
El teorema establece que para casi todos los números reales en el intervalo (0,1), el número de términos m de la expansión fraccionaria continua del número que se requieren para determinar los primeros n lugares de la expansión decimal del número se comporta asintóticamente de la siguiente manera:
Como este límite es sólo un poco menor que 1, se puede interpretar que cada término adicional en la representación de fracción continua de un número real "típico" aumenta la precisión de la representación en aproximadamente un lugar decimal. El sistema decimal es el último sistema posicional para el que cada dígito lleva menos información que un cociente fraccionario continuo; yendo a base-11 (cambiando a en la ecuación) hace que el valor anterior supere 1.
El recíproco de este límite,
es el doble del logaritmo en base 10 de la constante de Lévy .
Un ejemplo prominente de un número que no exhibe este comportamiento es la proporción áurea, a veces conocida como el número " más irracional ", cuyos términos fraccionarios continuos son todos unos, el más pequeño posible en forma canónica. En promedio, requiere aproximadamente 2,39 términos fraccionarios continuos por dígito decimal. [3]
Referencias
- ↑ Lochs, Gustav (1964), "Vergleich der Genauigkeit von Dezimalbruch und Kettenbruch", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (en alemán), 27 : 142-144, doi : 10.1007 / BF02993063 , MR 0162753
- ^ Weisstein, Eric W. "Teorema de Lochs" . MathWorld .
- ^ Cooper, Harold. "Flujos de fracciones continuas" . Consultado el 30 de agosto de 2016 .