Densidad natural
En teoría de números , la densidad natural (también conocida como densidad asintótica o densidad aritmética ) es un método para medir qué tan "grande" es un subconjunto del conjunto de números naturales . Se basa principalmente en la probabilidad de encontrar miembros del subconjunto deseado al peinar el intervalo [1, n ] a medida que n crece.
Intuitivamente, se piensa que hay más enteros positivos que cuadrados perfectos , ya que todo cuadrado perfecto ya es positivo, y además existen muchos otros enteros positivos. Sin embargo, el conjunto de números enteros positivos no es de hecho mayor que el conjunto de cuadrados perfectos: ambos conjuntos son infinitos y contables y, por lo tanto, se pueden poner en correspondencia uno a uno . Sin embargo, si se pasa por los números naturales, los cuadrados se vuelven cada vez más escasos. La noción de densidad natural hace que esta intuición sea precisa para muchos, pero no todos, subconjuntos de los naturales (Ver densidad de Schnirelmann , que es similar a la densidad natural pero definida para todos los subconjuntos de ).
Si se selecciona aleatoriamente un número entero del intervalo [1, n ], entonces la probabilidad de que pertenezca a A es la razón entre el número de elementos de A en [1, n ] y el número total de elementos en [1, n ]. Si esta probabilidad tiende a algún límite cuando n tiende a infinito, entonces este límite se denomina densidad asintótica de A. Esta noción puede entenderse como una especie de probabilidad de elegir un número del conjunto A. De hecho, la densidad asintótica (así como algunos otros tipos de densidades) se estudia en la teoría probabilística de números .
Un subconjunto A de enteros positivos tiene densidad natural α si la proporción de elementos de A entre todos los números naturales de 1 an converge a α cuando n tiende a infinito.
Más explícitamente, si uno define para cualquier número natural n la función de conteo a ( n ) como el número de elementos de A menor o igual que n , entonces la densidad natural de A siendo α significa exactamente que [1]
Sea un subconjunto del conjunto de números naturales para cualquier put y .
