Negatividad (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , la negatividad es una medida del entrelazamiento cuántico que es fácil de calcular. Es una medida que se deriva del criterio PPT de separabilidad . ^[1] Ha demostrado ser un entrelazamiento monótono ^{[2] [3]} y, por tanto, una medida adecuada de entrelazamiento.

Definición

La negatividad de un subsistema se puede definir en términos de una matriz de densidad como: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )\equiv {\frac {||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}-1}{2}}}$

donde:

• ${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$es la transposición parcial de con respecto al subsistema${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle ||X||_{1}={\text{Tr}}|X|={\text{Tr}}{\sqrt {X^{\dagger }X}}}$es la norma de seguimiento o la suma de los valores singulares del operador .${\displaystyle X}$

Una definición alternativa y equivalente es la suma absoluta de los autovalores negativos de :${\displaystyle \rho ^{\Gamma _{A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\rho )=\left|\sum _{\lambda _{i}<0}\lambda _{i}\right|=\sum _{i}{\frac {|\lambda _{i}|-\lambda _{i}}{2}}}$

donde están todos los valores propios.${\displaystyle \lambda _{i}}$

Propiedades

• Es una función convexa de :${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {N}}(\sum _{i}p_{i}\rho _{i})\leq \sum _{i}p_{i}{\mathcal {N}}(\rho _{i})}$

• Es un enredo monótono :

${\displaystyle {\mathcal {N}}(P(\rho _{i}))\leq {\mathcal {N}}(\rho _{i})}$

donde es una operación LOCC arbitraria sobre ${\displaystyle P(\rho )}$${\displaystyle \rho }$

Negatividad logarítmica

La negatividad logarítmica es una medida de entrelazamiento que es fácilmente computable y un límite superior para el entrelazamiento destilable . ^[4] Se define como

${\displaystyle E_{N}(\rho )\equiv \log _{2}||\rho ^{\Gamma _{A}}||_{1}}$

donde es la operación de transposición parcial y denota la norma de seguimiento .${\displaystyle \Gamma _{A}}$${\displaystyle ||\cdot ||_{1}}$

Se relaciona con la negatividad de la siguiente manera: ^[1]

${\displaystyle E_{N}(\rho ):=\log _{2}(2{\mathcal {N}}+1)}$

Propiedades

La negatividad logarítmica

• puede ser cero incluso si el estado está enredado (si el estado está enredado en PPT ).
• no se reduce a la entropía del entrelazamiento en estados puros como la mayoría de las otras medidas de entrelazamiento.
• es aditivo en productos tensoriales: ${\displaystyle E_{N}(\rho \otimes \sigma )=E_{N}(\rho )+E_{N}(\sigma )}$
• no es asintóticamente continuo. Eso significa que para una secuencia de espacios de Hilbert bipartitos (típicamente con dimensión creciente) podemos tener una secuencia de estados cuánticos que convergen a (típicamente al aumentar ) en la distancia de seguimiento , pero la secuencia no converge a .${\displaystyle H_{1},H_{2},\ldots }$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\ldots }$${\displaystyle \rho ^{\otimes n_{1}},\rho ^{\otimes n_{2}},\ldots }$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle E_{N}(\rho _{1})/n_{1},E_{N}(\rho _{2})/n_{2},\ldots }$${\displaystyle E_{N}(\rho )}$
• es un límite superior al entrelazamiento destilable

Referencias

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1. K. Zyczkowski; P. Horodecki; A. Sanpera; M. Lewenstein (1998). "Volumen del conjunto de estados separables". Phys. Rev. A . 58 : 883–92. arXiv : quant-ph / 9804024 . Código Bibliográfico : 1998PhRvA..58..883Z . doi : 10.1103 / PhysRevA.58.883 .
2. J. Eisert (2001). Entrelazamiento en la teoría de la información cuántica (Tesis). Universidad de Potsdam. arXiv : quant-ph / 0610253 . Código Bibliográfico : 2006PhDT ........ 59E .
3. G. Vidal; RF Werner (2002). "Una medida computable de entrelazamiento". Phys. Rev. A . 65 : 032314. arXiv : quant-ph / 0102117 . Código Bibliográfico : 2002PhRvA..65c2314V . doi : 10.1103 / PhysRevA.65.032314 .
4. MB Plenio (2005). "La negatividad logarítmica: un entrelazamiento completo monótono que no es convexo". Phys. Rev. Lett . 95 : 090503. arXiv : quant-ph / 0505071 . Código Bibliográfico : 2005PhRvL..95i0503P . doi : 10.1103 / PhysRevLett.95.090503 .