Sistema de Lorenz

No confundir con la curva de Lorenz o la distribución de Lorenz .

Una solución de muestra en el atractor de Lorenz cuando ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3

El sistema de Lorenz es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias estudiado por primera vez por Edward Lorenz . Destaca por tener soluciones caóticas para determinados valores de parámetros y condiciones iniciales. En particular, el atractor de Lorenz es un conjunto de soluciones caóticas del sistema de Lorenz. En los medios populares, el ' efecto mariposa'surge de las implicaciones del atractor de Lorenz en el mundo real, es decir, que en cualquier sistema físico, en ausencia de un conocimiento perfecto de las condiciones iniciales (incluso la minúscula perturbación del aire debido a una mariposa batiendo sus alas), nuestra capacidad para predice que su curso futuro siempre fallará. Esto subraya que los sistemas físicos pueden ser completamente deterministas y, sin embargo, ser intrínsecamente impredecibles incluso en ausencia de efectos cuánticos. La forma del propio atractor de Lorenz, cuando se traza gráficamente, también se puede ver como una mariposa.

Resumen

En 1963, Edward Lorenz , con la ayuda de Ellen Fetter , desarrolló un modelo matemático simplificado para la convección atmosférica . ^[1] El modelo es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias ahora conocidas como ecuaciones de Lorenz:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

Las ecuaciones relacionan las propiedades de una capa de fluido bidimensional que se calienta uniformemente desde abajo y se enfría desde arriba. En particular, las ecuaciones describen la tasa de cambio de tres cantidades con respecto al tiempo: es proporcional a la tasa de convección, a la variación de temperatura horizontal y a la variación de temperatura vertical. ^[2] Las constantes , y son parámetros del sistema proporcional al número de Prandtl , número de Rayleigh , y ciertas dimensiones físicas de la propia capa. ^[2]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$

Las ecuaciones de Lorenz también surgen en modelos simplificados para láseres , ^[3] dínamos , ^[4] termosifones , ^[5] motores de CC sin escobillas , ^[6] circuitos eléctricos , ^[7] reacciones químicas ^[8] y ósmosis directa . ^[9] Las ecuaciones de Lorenz son también las ecuaciones que gobiernan en el espacio de Fourier para la rueda hidráulica Malkus . ^{[10] [11]} La rueda hidráulica Malkus exhibe un movimiento caótico donde, en lugar de girar en una dirección a una velocidad constante, su rotación aumentará, disminuirá la velocidad, se detendrá, cambiará de dirección y oscilará hacia adelante y hacia atrás entre combinaciones de tales comportamientos de una manera impredecible.

Desde un punto de vista técnico, el sistema de Lorenz es no lineal , no periódico, tridimensional y determinista . Las ecuaciones de Lorenz han sido objeto de cientos de artículos de investigación y de al menos un estudio de la extensión de un libro. ^[2]

Análisis

Se supone normalmente que los parámetros , y son positivos. Lorenz utiliza los valores , y . El sistema exhibe un comportamiento caótico para estos valores (y los cercanos). ^[12]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \sigma =10}$${\displaystyle \beta =8/3}$${\displaystyle \rho =28}$

Si entonces solo hay un punto de equilibrio, que está en el origen. Este punto no corresponde a ninguna convección. Todas las órbitas convergen al origen, que es un atractor global , cuando . ^[13]${\displaystyle \rho <1}$${\displaystyle \rho <1}$

Se produce una bifurcación en horquilla en , y aparecen dos puntos críticos adicionales en: y Estos corresponden a convección constante. Este par de puntos de equilibrio es estable solo si ${\displaystyle \rho =1}$${\displaystyle \rho >1}$${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)}$${\displaystyle \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}$

${\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}$

que puede ser válido sólo para positivo si . En el valor crítico, ambos puntos de equilibrio pierden estabilidad a través de una bifurcación de Hopf subcrítica . ^[14]${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma >\beta +1}$

Cuando , y , el sistema de Lorenz tiene soluciones caóticas (pero no todas las soluciones son caóticos). Casi todos los puntos iniciales tenderán a un conjunto invariante - el atractor de Lorenz - un atractor extraño , un fractal y un atractor autoexcitado con respecto a los tres equilibrios. Su dimensión de Hausdorff se estima desde arriba por la dimensión de Lyapunov (dimensión de Kaplan-Yorke) como 2.06 ± 0.01, ^[15] y la dimensión de correlación se estima en 2.05 ± 0.01. ^[16] La fórmula exacta de la dimensión de Lyapunov del atractor global se puede encontrar analíticamente bajo restricciones clásicas sobre los parámetros:${\displaystyle \rho =28}$${\displaystyle \sigma =10}$${\displaystyle \beta =8/3}$^{[17] [15] [18]}${\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {(\sigma -1)^{2}+4\sigma \rho }}}}.}$

El atractor de Lorenz es difícil de analizar, pero la acción de la ecuación diferencial sobre el atractor se describe mediante un modelo geométrico bastante simple. ^[19] Demostrar que este es realmente el caso es el decimocuarto problema en la lista de problemas de Smale . Este problema fue el primero en ser resuelto por Warwick Tucker en 2002. ^[20]

Para otros valores de , el sistema muestra órbitas periódicas anudadas. Por ejemplo, con él se convierte en un nudo toro T (3,2) .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho =99.96}$

Soluciones de ejemplo del sistema de Lorenz para diferentes valores de ρ
ρ = 14, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)	ρ = 13, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)
ρ = 15, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)	ρ = 28, σ = 10, β = 8/3 (Ampliar)
Para valores pequeños de ρ , el sistema es estable y evoluciona a uno de dos atractores de punto fijo. Cuando ρ es mayor que 24,74, los puntos fijos se convierten en repulsores y la trayectoria es repelida por ellos de una forma muy compleja.

Dependencia sensible de la condición inicial.
Tiempo t = 1 (agrandar)	Tiempo t = 2 (agrandar)	Tiempo t = 3 (agrandar)
Estas cifras, hechas usando ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3, muestran tres segmentos de tiempo de la evolución 3-D de dos trayectorias (una en azul, la otra en amarillo) en el atractor de Lorenz comenzando en dos puntos que difieren solo en 10 −5 en la coordenada x . Inicialmente, las dos trayectorias parecen coincidentes (solo se puede ver la amarilla, ya que está dibujada sobre la azul) pero, después de un tiempo, la divergencia es obvia.

Conexión al mapa de la tienda

Una recreación de los resultados de Lorenz creados en Mathematica . Los puntos por encima de la línea roja corresponden a los lóbulos de conmutación del sistema.

En la Figura 4 de su artículo, ^[1] Lorenz creó una gráfica de Poincaré trazando el valor máximo relativo en la dirección z logrado por el sistema, contra el máximo relativo anterior en la dirección z. La parcela resultante tiene una forma muy similar al mapa de la tienda . Lorenz también descubrió que cuando el valor z máximo está por encima de cierto límite, el sistema cambiará al siguiente lóbulo. Combinando esto con el caos que se sabe exhibe en el mapa de la tienda, mostró que el sistema cambia caóticamente entre los dos lóbulos.

Simulaciones

Simulación MATLAB

% Resolver en el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]% '' f '' es un conjunto de ecuaciones diferenciales% '' a '' es una matriz que contiene variables x, y y z% '' t '' es variable de tiemposigma = 10 ;  beta = 8 / 3 ;  rho = 28 ;  f = @ ( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )];             [ t , a ] = ode45 ( f , [ 0 100 ], [ 1 1 1 ]); % Runge-Kutta solucionador de ODE de cuarto / quinto orden      plot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))

Simulación de Mathematica

Forma estándar:

tender = 50 ;  eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [                        t ]};init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 };          pars = { σ -> 10 , ρ -> 28 , β -> 8 / 3 };    { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , tend }];              ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , tend }]     

Menos detallado:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }];                       soln [ t_ ] = estado-respuesta [{ Lorenz , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8 / 3 }, { t , 0 , 50 }];           ParametricPlot3D [ soln [ t ], { t , 0 , 50 }]   

Solución dinámicamente interactiva:

eqs = {   x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ],                     x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10        };tmax = 50 ;  sol = ParametricNDSolveValue [ eqs , Función [ t , { x [ t ], y [ t ], z [ t ]}], { t , 0 , tmax }, { σ , ρ , β }];            Manipular [ divertido = sol [ σ , ρ , β ];     plot = ParametricPlot3D [ fun [ t ], { t , 0 , tmax }, PlotRange -> All , PerformanceGoal -> "Calidad" ];            Animar [ Mostrar [ trama , Graphics3D [{ PointSize [ 0.05 ], Red , Point [ fun [ t ]]}]],    { t , 0 , tmax }, AnimationRunning -> True , AnimationRate -> 1         ], {{ Σ , 10 }, 0 , 100 }, {{ ρ , 28 }, 0 , 100 }, {{ β , 8 / 3 }, 0 , 100 },            TrackedSymbols :> { σ , ρ , β }    ]

Simulación de Python

importar  numpy  como  np importar  matplotlib.pyplot  como  plt de  scipy.integrar  importar  odeint de  mpl_toolkits.mplot3d  importar  Axes3Drho  =  28,0 sigma  =  10,0 beta  =  8,0  /  3,0def  f ( estado ,  t ):  x ,  y ,  z  =  estado  # Desempaquetar el vector de estado  return  sigma  *  ( y  -  x ),  x  *  ( rho  -  z )  -  y ,  x  *  y  -  beta  *  z  # Derivadasestado0  =  [ 1.0 ,  1.0 ,  1.0 ] t  =  np . arango ( 0.0 ,  40.0 ,  0.01 )estados  =  odeint ( f ,  state0 ,  t )fig  =  plt . figura () ax  =  fig . gca ( proyección = "3d" ) ax . plot ( indica [:,  0 ],  indica [:,  1 ],  indica [:,  2 ]) plt . dibujar () plt . mostrar ()

Simulación de Modelica

modelo  LorenzSystem parámetro  Real  sigma  =  10 ;  parámetro  Real  rho  =  28 ;  parámetro  real  beta  =  8 / 3 ; parámetro  Real  x_start  =  1  "Coordenada x inicial" ;  parámetro  Real  y_start  =  1  "Coordenada y inicial" ;  parámetro  Real  z_start  =  1  "Coordenada z inicial" ; Real  x  "coordenada x" ;  Real  y  "coordenada y" ;  Real  z  "coordenada z" ; ecuación  inicial x  =  x_start ;  y  =  y_start ;  z  =  z_start ;ecuación der ( x )  =  sigma * ( y - x );  der ( y )  =  rho * x  -  y  -  x * z ;  der ( z )  =  x * y  -  beta * z ;end  LorenzSystem ;

Simulación de Julia

usando  Ecuaciones Diferenciales ,  Funciones Parametrizadas ,  Gráficoslorenz  =  @ode_def  begin  # define el sistema  dx  =  σ  *  ( y  -  x )  dy  =  x  *  ( ρ  -  z )  -  y  dz  =  x  *  y  -  β * z end  σ  ρ  βu₀  =  [ 1,0 , 0,0 , 0,0 ]  # condiciones iniciales tspan  =  ( 0,0 , 100,0 )  # intervalo de tiempo p  =  [ 10,0 , 28,0 , 8 / 3 ]  # parámetros prob  =  ODEProblem ( Lorenz ,  u₀ ,  tspan ,  p )  # definir el problema sol  =  resolver ( problema )  # resolverlo trazar (sol ,  vars  =  ( 1 ,  2 ,  3 ))  # graficar la solución en el espacio de fase - variables ordenadas con indexación basada en 1

Simulación máxima

cargar ( dinámica ) $ cargar ( dibujar ) $/ * Parámetros del sistema * / a :  10 ;  b :  8 / 3 ;  r :  28 ;lorenzSystem :  [ a * ( y - x ),  - x * z + r * x - y ,  x * y - b * z ]; dependientesVariables :  [ x ,  y ,  z ] $ initialValues :  [ 1 ,  1 ,  1 ] $ timeRange :  [ t ,  0 ,  50,  0.01 ] $/ * Solución a través de 4º orden método de Runge-Kutta * / systemSolution :  rk ( lorenzSystem ,  dependentVariables ,  initialValues ,  TimeRange ) $ solutionPoints :  mapa ( lambda ([ x ],  resto ( x )),  systemSolution ) $draw3d ( point_type = none ,  points_joined = true ,  color = blue ,  xlabel = "x (t)" ,  ylabel = "y (t)" ,  zlabel = "z (t)" ,  points ( solutionPoints ));

Derivación de las ecuaciones de Lorenz como modelo de convección atmosférica

Las ecuaciones de Lorenz se derivan de la aproximación de Oberbeck-Boussinesq a las ecuaciones que describen la circulación de fluido en una capa poco profunda de fluido, calentado uniformemente desde abajo y enfriado uniformemente desde arriba. ^[1] Esta circulación de fluido se conoce como convección de Rayleigh-Bénard . Se supone que el fluido circula en dos dimensiones (vertical y horizontal) con condiciones de contorno rectangulares periódicas.

Las ecuaciones diferenciales parciales que modelan la función de la corriente y la temperatura del sistema se someten a una aproximación espectral de Galerkin : los campos hidrodinámicos se expanden en series de Fourier, que luego se truncan severamente a un solo término para la función de la corriente y dos términos para la temperatura. Esto reduce las ecuaciones del modelo a un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas. Se puede encontrar una derivación detallada, por ejemplo, en textos de dinámica no lineal. ^[21] El sistema de Lorenz es una versión reducida de un sistema más grande estudiado anteriormente por Barry Saltzman. ^[22]

Resolución del problema número 14 de Smale

El decimocuarto problema de Smale dice "¿Las propiedades del atractor de Lorenz exhiben las de un atractor extraño ?", Fue respondido afirmativamente por Warwick Tucker en 2002. ^[20] Para probar este resultado, Tucker usó métodos numéricos rigurosos como aritmética de intervalos y formas normales. . Primero, Tucker definió una sección transversal que se corta transversalmente por las trayectorias del flujo. A partir de esto, se puede definir el mapa de primer retorno , que asigna a cada uno el punto donde se cruza la trayectoria del primer retorno .${\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in \Sigma }$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Sigma }$

Luego, la prueba se divide en tres puntos principales que se prueban e implican la existencia de un atractor extraño. ^[23] Los tres puntos son:

• Existe una región invariante bajo el mapa de primer retorno, lo que significa${\displaystyle N\subset \Sigma }$${\displaystyle P(N)\subset N}$
• El mapa de retorno admite un campo de cono invariante hacia adelante
• Los vectores dentro de este campo de cono invariante se expanden uniformemente por la derivada del mapa de retorno.${\displaystyle DP}$

Para probar el primer punto, notamos que la sección transversal está cortada por dos arcos formados por (ver ^[23] ). Tucker cubre la ubicación de estos dos arcos mediante pequeños rectángulos , la unión de estos rectángulos da . Ahora, el objetivo es demostrar que para todos los puntos adentro , el flujo traerá de vuelta los puntos adentro , adentro . Para ello, tomamos un plan a continuación a una distancia pequeña, a continuación, tomando el centro de y el uso de método de integración de Euler, se puede estimar que el flujo traerá en lo que nos da un nuevo punto . Entonces, uno puede estimar dónde se mapearán los puntos en${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(\Sigma )}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle c_{i}'}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma '}$usando la expansión de Taylor, esto nos da un nuevo rectángulo centrado en . Por lo tanto, sabemos que se asignarán todos los puntos de . El objetivo es hacer este método de forma recursiva hasta que el flujo vuelva y obtengamos un rectángulo en el que lo sepamos . El problema es que nuestra estimación puede volverse imprecisa después de varias iteraciones, por lo que lo que hace Tucker es dividir en rectángulos más pequeños y luego aplicar el proceso de forma recursiva. Otro problema es que a medida que aplicamos este algoritmo, el flujo se vuelve más 'horizontal' (ver ^[23]${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle Rf_{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}$${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i,j}}$), lo que da lugar a un aumento espectacular de la imprecisión. Para evitar esto, el algoritmo cambia la orientación de las secciones transversales, convirtiéndose en horizontales o verticales.

Contribuciones

Lorenz agradece las contribuciones de Ellen Fetter en su artículo, quien es responsable de las simulaciones numéricas y las cifras. ^[1] Además, Margaret Hamilton ayudó en los cálculos numéricos iniciales que llevaron a los hallazgos del modelo de Lorenz. ^[24]

Galería

• Una solución en el atractor de Lorenz trazada a alta resolución en el plano xz.

• Una solución en el atractor de Lorenz representada como SVG.

• Reproducir medios

  Una animación que muestra trayectorias de múltiples soluciones en un sistema de Lorenz.

• Una solución en el atractor de Lorenz renderizado como un alambre de metal para mostrar la dirección y la estructura 3D .

• Reproducir medios

  Una animación que muestra la divergencia de soluciones cercanas al sistema de Lorenz.

• Una visualización del atractor de Lorenz cerca de un ciclo intermitente.

• Dos líneas de corriente en un sistema de Lorenz, de rho = 0 a rho = 28 (sigma = 10, beta = 8/3)

• Animación de un sistema de Lorenz con rodependencia

Ver también

• La conjetura de Eden sobre la dimensión de Lyapunov
• Modelo Lorenz 96
• Lista de mapas caóticos
• Teorema de Takens

Notas

1. Lorenz (1963)
2. Gorrión (1982)
3. Haken (1975)
4. Knobloch (1981)
5. Gorman, Widmann y Robbins (1986)
6. Hemati (1994)
7. Cuomo y Oppenheim (1993)
8. Polonia (1993)
9. Tzenov (2014) ^{[ cita requerida ]}
10. Kolář y Gumbs (1992)
11. Mishra y Sanghi (2006)
12. Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 303-305
13. Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 306 + 307
14. Hirsch, Smale y Devaney (2003) , págs. 307 + 308
15. Kuznetsov, NV; Mokaev, TN; Kuznetsova, OA; Kudryashova, EV (2020). "El sistema de Lorenz: límite oculto de la estabilidad práctica y la dimensión de Lyapunov" . Dinámica no lineal . doi : 10.1007 / s11071-020-05856-4 .
16. Grassberger y Procaccia (1983)
17. Leonov y col. (2016)
18. Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y cálculo . Cham: Springer.
19. Guckenheimer, John; Williams, RF (1 de diciembre de 1979). "Estabilidad estructural de atractores de Lorenz" . Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques . 50 (1): 59–72. doi : 10.1007 / BF02684769 . ISSN 0073-8301 . 
20. Tucker (2002)
21. Hilborn (2000) , Apéndice C; Bergé, Pomeau y Vidal (1984) , Apéndice D
22. Saltzman (1962)
23. Viana (2000)
24. Lorenz (1960)

Referencias

• Bergé, Pierre; Pomeau, Yves; Vidal, Christian (1984). Orden dentro del caos: hacia un enfoque determinista de la turbulencia . Nueva York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-84967-4.
• Cuomo, Kevin M .; Oppenheim, Alan V. (1993). "Circuito de implementación del caos sincronizado con aplicaciones a las comunicaciones". Cartas de revisión física . 71 (1): 65–68. Código Bibliográfico : 1993PhRvL..71 ... 65C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.71.65 . ISSN  0031-9007 . PMID  10054374 .
• Gorman, M .; Widmann, PJ; Robbins, KA (1986). "Dinámica no lineal de un bucle de convección: una comparación cuantitativa del experimento con la teoría". Physica D . 19 (2): 255-267. Código Bibliográfico : 1986PhyD ... 19..255G . doi : 10.1016 / 0167-2789 (86) 90022-9 .
• Grassberger, P .; Procaccia, I. (1983). "Midiendo la extrañeza de atractores extraños". Physica D . 9 (1–2): 189–208. Código Bibliográfico : 1983PhyD .... 9..189G . doi : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
• Haken, H. (1975). "Analogía entre mayores inestabilidades en fluidos y láseres". Physics Letters A . 53 (1): 77–78. Código Bibliográfico : 1975PhLA ... 53 ... 77H . doi : 10.1016 / 0375-9601 (75) 90353-9 .
• Hemati, N. (1994). "Atractores extraños en motores de corriente continua sin escobillas". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: Teoría y aplicaciones fundamentales . 41 (1): 40–45. doi : 10.1109 / 81.260218 . ISSN  1057-7122 .
• Hilborn, Robert C. (2000). Caos y dinámica no lineal: una introducción para científicos e ingenieros (segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-850723-9.
• Hirsch, Morris W .; Smale, Stephen ; Devaney, Robert (2003). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos e introducción al caos (segunda ed.). Boston, MA: Prensa académica . ISBN 978-0-12-349703-1.
• Knobloch, Edgar (1981). "Caos en la dínamo de disco segmentado". Physics Letters A . 82 (9): 439–440. Código Bibliográfico : 1981PhLA ... 82..439K . doi : 10.1016 / 0375-9601 (81) 90274-7 .
• Kolář, Miroslav; Gumbs, Godfrey (1992). "Teoría para la observación experimental del caos en una rueda hidráulica giratoria". Physical Review A . 45 (2): 626–637. doi : 10.1103 / PhysRevA.45.626 . PMID  9907027 .
• Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Korzhemanova, NA; Kusakin, DV (2016). "Fórmula de dimensión de Lyapunov para el atractor global del sistema de Lorenz". Comunicaciones en ciencia no lineal y simulación numérica . 41 : 84-103. arXiv : 1508.07498 . Código bibliográfico : 2016CNSNS..41 ... 84L . doi : 10.1016 / j.cnsns.2016.04.032 .
• Lorenz, Edward Norton (1963). "Flujo no periódico determinista" . Revista de Ciencias Atmosféricas . 20 (2): 130-141. Código Bibliográfico : 1963JAtS ... 20..130L . doi : 10.1175 / 1520-0469 (1963) 020 <0130: DNF> 2.0.CO; 2 .
• Mishra, Aashwin; Sanghi, Sanjeev (2006). "Un estudio de la rueda hidráulica asimétrica Malkus: las ecuaciones de Lorenz sesgadas". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 16 (1): 013114. Bibcode : 2006Chaos..16a3114M . doi : 10.1063 / 1.2154792 . PMID  16599745 .
• Pchelintsev, AN (2014). "Modelado numérico y físico de la dinámica del sistema de Lorenz". Análisis numérico y aplicaciones . 7 (2): 159-167. doi : 10.1134 / S1995423914020098 .
• Polonia, Douglas (1993). "Catálisis cooperativa y caos químico: un modelo químico para las ecuaciones de Lorenz". Physica D . 65 (1): 86–99. Código Bibliográfico : 1993PhyD ... 65 ... 86P . doi : 10.1016 / 0167-2789 (93) 90006-M .
• Saltzman, Barry (1962). "Convección libre de amplitud finita como un problema de valor inicial — I" . Revista de Ciencias Atmosféricas . 19 (4): 329–341. Código Bibliográfico : 1962JAtS ... 19..329S . doi : 10.1175 / 1520-0469 (1962) 019 <0329: FAFCAA> 2.0.CO; 2 .
• Gorrión, Colin (1982). Las ecuaciones de Lorenz: bifurcaciones, caos y atractores extraños . Saltador.
• Tucker, Warwick (2002). "Un solucionador de ODE riguroso y el problema 14 de Smale" (PDF) . Fundamentos de la matemática computacional . 2 (1): 53-117. CiteSeerX  10.1.1.545.3996 . doi : 10.1007 / s002080010018 .
• Tzenov, Stephan (2014). "Atractores extraños que caracterizan la inestabilidad osmótica". arXiv : 1406.0979v1 [ física.flu-dyn ].
• Viana, Marcelo (2000). "¿Qué hay de nuevo en los atractores extraños de Lorenz?". El inteligente matemático . 22 (3): 6–19. doi : 10.1007 / BF03025276 .
• Lorenz, Edward N. (1960). "La predicción estadística de soluciones de ecuaciones dinámicas" (PDF) . Simposio sobre predicción numérica del tiempo en Tokio .

Lectura adicional

• GA Leonov y NV Kuznetsov (2015). "Sobre las diferencias y similitudes en el análisis de los sistemas de Lorenz, Chen y Lu" (PDF) . Matemática Aplicada y Computación . 256 : 334–343. doi : 10.1016 / j.amc.2014.12.132 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con atractores de Lorenz .

• "Atractor de Lorenz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Atractor de Lorenz" . MathWorld .
• Atractor de Lorenz por Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project .
• Ecuación de Lorenz en planetmath.org
• Caos sincronizado y comunicaciones privadas, con Kevin Cuomo . La implementación del atractor de Lorenz en un circuito electrónico.
• Animación interactiva del atractor de Lorenz (necesita el complemento Adobe Shockwave)
• Atractores 3D: programa de Mac para visualizar y explorar el atractor de Lorenz en 3 dimensiones
• Atractor de Lorenz implementado en electrónica analógica
• Animación interactiva del Atractor de Lorenz (implementada en Ada con GTK +. Fuentes y ejecutable)
• Atractor de Lorenz basado en web (implementado en JavaScript / HTML / CSS)
• Atractor Lorenz interactivo basado en web hecho con yoduro