Exponente de Lyapunov

En matemáticas , el exponente de Lyapunov o exponente característico de Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza la tasa de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas . Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio de fase con el vector de separación inicial divergen (siempre que la divergencia pueda tratarse dentro de la aproximación linealizada) a una tasa dada por${\displaystyle \delta \mathbf {Z} _{0}}$

donde está el exponente de Lyapunov.${\displaystyle \lambda }$

La tasa de separación puede ser diferente para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Por tanto, hay un espectro de exponentes de Lyapunov, igual en número a la dimensionalidad del espacio de fase. Es común referirse al más grande como el máximo exponente de Lyapunov (MLE), porque determina una noción de predictibilidad para un sistema dinámico. Un MLE positivo generalmente se toma como una indicación de que el sistema es caótico.(siempre que se cumplan algunas otras condiciones, por ejemplo, compacidad del espacio de fase). Tenga en cuenta que un vector de separación inicial arbitrario generalmente contendrá algún componente en la dirección asociada con el MLE y, debido a la tasa de crecimiento exponencial, el efecto de los otros exponentes se eliminará con el tiempo.

El límite asegura la validez de la aproximación lineal en cualquier momento. ^[1]${\displaystyle |\delta \mathbf {Z} _{0}|\to 0}$

Para un sistema de tiempo discreto (mapas o iteraciones de punto fijo) , para una órbita que comienza con esto se traduce en:${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})}$${\displaystyle x_{0}}$

Para un sistema dinámico con ecuación de evolución en un espacio de fase n- dimensional, el espectro de exponentes de Lyapunov${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=f_{i}(x)}$

Explicaciones del exponente de Lyapunov

El vector líder de Lyapunov.

Puntos dentro y fuera del conjunto de Mandelbrot coloreados por el exponente de Lyapunov.