El teorema de Müntz-Szász es un resultado básico de la teoría de aproximación , probado por Herman Müntz en 1914 y Otto Szász (1884-1952) en 1916. En términos generales, el teorema muestra hasta qué punto el teorema de Weierstrass sobre aproximación polinómica puede tener agujeros ella, al restringir ciertos coeficientes en los polinomios a cero. Sergei Bernstein había conjeturado la forma del resultado antes de que se probara.
El teorema, en un caso especial, establece que una condición necesaria y suficiente para los monomios
para abarcar un subconjunto denso del espacio de Banach C [ a , b ] de todas las funciones continuas con valores numéricos complejos en el intervalo cerrado [ a , b ] con a > 0, con la norma uniforme , es que la suma
de los recíprocos, asumidos sobre S , deberían divergir , es decir, S es un conjunto grande . Para un intervalo [0, b ], las funciones constantes son necesarias: asumiendo, por tanto, que 0 está en S , la condición de los demás exponentes es como antes.
De manera más general, se pueden tomar exponentes de cualquier secuencia estrictamente creciente de números reales positivos, y se cumple el mismo resultado. Szász mostró que para exponentes de números complejos, la misma condición se aplica a la secuencia de partes reales .
Referencias
- Müntz, cap. H. (1914). "Über den Approximationssatz von Weierstrass". Festschrift de HA Schwarz . Berlina. págs. 303–312. Escaneado en la Universidad de Michigan
- Szász, O. (1916). "Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen" . Matemáticas. Ann . 77 : 482–496. doi : 10.1007 / BF01456964 . S2CID 123893394 . Escaneado en digizeitschriften.de
- Shen, Jie; Wang, Yingwei (2016). "Métodos y aplicaciones de Müntz-Galerkin para problemas mixtos de valores de frontera de Dirichlet-Neumann". Revista SIAM de Computación Científica . 38 (4): A2357 – A2381. doi : 10.1137 / 15M1052391 .