En matemáticas , una función constante es una función cuyo valor (de salida) es el mismo para cada valor de entrada. [1] [2] [3] Por ejemplo, la función y ( x ) = 4 es una función constante porque el valor de y ( x ) es 4 independientemente del valor de entrada x (ver imagen).
Propiedades básicas
Como función de valor real de un argumento de valor real, una función constante tiene la forma general y ( x ) = c o simplemente y = c . [4]
- Ejemplo: La función y ( x ) = 2 o simplemente y = 2 es la función constante específica donde el valor de salida es c = 2 . El dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales ℝ. El codominio de esta función es solo {2}. La variable independiente x no aparece en el lado derecho de la expresión de la función, por lo que su valor está "sustituido de forma vacía". Es decir, y (0) = 2 , y (−2,7) = 2 , y (π) = 2 , y así sucesivamente. No importa qué valor de x se ingrese, la salida es "2".
- Ejemplo del mundo real: una tienda donde cada artículo se vende por el precio de 1 dólar.
La gráfica de la función constante y = c es una línea horizontal en el plano que pasa por el punto (0, c ) . [5]
En el contexto de un polinomio en una variable x , la función constante distinta de cero es un polinomio de grado 0 y su forma general es f ( x ) = c donde c es diferente de cero. Esta función no tiene un punto de intersección con el eje x , es decir, no tiene raíz (cero) . Por otro lado, el polinomio f ( x ) = 0 es la función idénticamente cero . Es la función constante (trivial) y cada x es una raíz. Su gráfica es el eje x en el plano. [6]
Una función constante es una función par , es decir, la gráfica de una función constante es simétrica con respecto al eje y .
En el contexto donde se define, la derivada de una función es una medida de la tasa de cambio de los valores de la función con respecto al cambio en los valores de entrada. Debido a que una función constante no cambia, su derivada es 0. [7] Esto se escribe a menudo: . Lo contrario también es cierto. Es decir, si y '( x ) = 0 para todos los números reales x , entonces y es una función constante. [8]
- Ejemplo: dada la función constante . La derivada de y es la función idénticamente cero .
Otras propiedades
Para las funciones entre conjuntos preordenados , funciones constantes son ambos orden de preservación y orden de marcha atrás ; a la inversa, si f conserva el orden y lo invierte, y si el dominio de f es una red , f debe ser constante.
- Cada función constante cuyo dominio y codominio son el mismo conjunto X es un cero izquierdo del monoide de transformación completa en X, lo que implica que también es idempotente .
- Toda función constante entre espacios topológicos es continua .
- Una función constante factoriza a través del conjunto de un punto , el objeto terminal en la categoría de conjuntos . Esta observación es fundamental para la axiomatización de la teoría de conjuntos de F. William Lawvere , la Teoría elemental de la categoría de conjuntos (ETCS). [9]
- Cada conjunto X es isomorfo al conjunto de funciones constantes en él. Para cada elemento xy cualquier conjunto Y, hay una función única tal que para todos . Por el contrario, si una función satisface para todos , es por definición una función constante.
- Como corolario, el conjunto de un punto es un generador en la categoría de conjuntos.
- Cada set es canónicamente isomorfo al conjunto de funciones , o conjunto hom en la categoría de conjuntos, donde 1 es el conjunto de un punto. Debido a esto, y la adjunción entre productos cartesianos y hom en la categoría de conjuntos (por lo que existe un isomorfismo canónico entre funciones de dos variables y funciones de una variable valoradas en funciones de otra (única) variable,) la categoría de conjuntos es una categoría monoidal cerrada con el producto cartesiano de conjuntos como producto tensorial y el conjunto de un punto como unidad tensorial. En los isomorfismos natural en X , los unitors izquierdo y derecho son las proyecciones y los pares ordenados y respectivamente al elemento , dónde es el punto único en el conjunto de un punto.
Una función en un conjunto conectado es localmente constante si y solo si es constante.
Referencias
- ^ Tanton, James (2005). Enciclopedia de Matemáticas . Facts on File, Nueva York. pag. 94. ISBN 0-8160-5124-0.
- ^ C. Clapham, J. Nicholson (2009). "Diccionario conciso de Oxford de matemáticas, función constante" (PDF) . Addison-Wesley. pag. 175 . Consultado el 12 de enero de 2014 .
- ^ Weisstein, Eric (1999). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC . CRC Press, Londres. pag. 313. ISBN 0-8493-9640-9.
- ^ Weisstein, Eric W. "Función constante" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de julio de 2020 .
- ^ Dawkins, Paul (2007). "Álgebra universitaria" . Universidad Lamar. pag. 224 . Consultado el 12 de enero de 2014 .
- ^ Carter, John A .; Cuevas, Gilbert J .; Holliday, Berchie; Marks, Daniel; McClure, Melissa S. (2005). "1". Conceptos matemáticos avanzados - Precálculo con aplicaciones, Edición para estudiantes (1 ed.). Pub Co. de la escuela Glencoe / McGraw-Hill p. 22. ISBN 978-0078682278.
- ^ Dawkins, Paul (2007). "Pruebas derivadas" . Universidad Lamar . Consultado el 12 de enero de 2014 .
- ^ "La derivada cero implica una función constante" . Consultado el 12 de enero de 2014 .
- ^ Leinster, Tom (27 de junio de 2011). "Una introducción informal a la teoría de topos". arXiv : 1012.5647 [ math.CT ].
- Herrlich, Horst y Strecker, George E., Teoría de categorías , Heldermann Verlag (2007).
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Función constante" . MathWorld .
- "Función constante" . PlanetMath .