Teorema de extensión de M. Riesz

Para conocer más teoremas que a veces se denominan teorema de Riesz, consulte el teorema de Riesz .

El teorema de extensión de M. Riesz es un teorema en matemáticas , probado por Marcel Riesz ^[1] durante su estudio del problema de los momentos . ^[2]

Formulación

Sea un espacio vectorial real , sea ​​un subespacio vectorial y sea ​​un cono convexo .${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F\subset E}$${\displaystyle K\subset E}$

Un funcional lineal se llama - positivo , si solo toma valores no negativos en el cono :${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}$

Un funcional lineal se llama una extensión positiva de , si es idéntico al dominio de , y también devuelve un valor de al menos 0 para todos los puntos en el cono :${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.}$

En general, un funcional lineal positivo en no puede extenderse a un funcional lineal positivo en . Ya en dos dimensiones se obtiene un contraejemplo. Sea y sea ​​el eje-. El funcional positivo no puede extenderse a un funcional positivo en .${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=E-\{(x,0):x<0\},}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x,0)=x}$${\displaystyle E}$

Sin embargo, la extensión existe bajo el supuesto adicional de que, a saber, para cada existe un tal que${\displaystyle E\subset K+F,}$${\displaystyle y\in E,}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y-x\in K.}$

Prueba

La demostración es similar a la demostración del teorema de Hahn-Banach (ver también más abajo).

Por inducción transfinita o lema de Zorn es suficiente considerar el caso oscuro  .${\displaystyle E/F=1}$

Elija cualquiera . Colocar${\displaystyle y\in E\setminus F}$

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ y-x\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,x-y\in K\,\}.}$

Lo demostraremos a continuación . Por ahora, elegir cualquier satisfacción y conjunto , y luego se extenderá a todos por la linealidad. Necesitamos demostrar que es positivo. Supongamos . Entonces cualquiera , o o para algunos y . Si , entonces . En el primer caso restante , y así${\displaystyle -\infty <a\leq b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq c\leq b}$${\displaystyle \psi (y)=c}$${\displaystyle \psi |_{F}=\phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle K}$${\displaystyle z\in K}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=p(x+y)}$${\displaystyle z=p(x-y)}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \psi (z)>0}$${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

por definición. Por lo tanto

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

En el segundo caso , y de manera similar${\displaystyle x-y\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

por definición y así

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

En todos los casos, y así es -positivo.${\displaystyle \psi (z)>0}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle K}$

Ahora lo probamos . Observe por supuesto que existe al menos uno para el cual , y así . Sin embargo, puede darse el caso de que no existan para los cuales , en cuyo caso y la desigualdad es trivial (en este caso observe que el tercer caso anterior no puede suceder). Por lo tanto, podemos suponer que y hay al menos uno para el que . Para probar la desigualdad, basta con mostrar que siempre y , y y , luego . En efecto,${\displaystyle -\infty <a\leq b}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y-x\in K}$${\displaystyle -\infty <a}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle x-y\in K}$${\displaystyle b=\infty }$${\displaystyle b<\infty }$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle x-y\in K}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle y-x\in K}$${\displaystyle x'\in F}$${\displaystyle x'-y\in K}$${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

ya que es un cono convexo, por lo que${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

ya que es -positivo.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K}$

Corolario: teorema de extensión de Krein

Sea E un espacio lineal real y sea K  ⊂  E un cono convexo . Deje x  ∈  E \ (- K ) sea tal que R x  +  K  =  E . Entonces existe un funcional lineal K -positivo φ :  E  →  R tal que φ ( x )> 0. 

Conexión con el teorema de Hahn-Banach

Artículo principal: teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema de extensión de M. Riesz.

Deje que V sea un espacio lineal, y dejar que N sea una función sublineal en V . Sea φ un funcional en un subespacio U  ⊂  V que está dominado por N :

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

El Hahn-Banach teorema afirma que φ se puede extender a un funcional lineal en V que está dominado por N .

Para derivar esto del teorema de extensión de M. Riesz, defina un cono convexo K  ⊂  R × V por

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

Defina un funcional φ ₁ en R × U por

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

Uno puede ver que φ ₁ es K -positivo, y que K  + ( R  x  T ) =  R  ×  V . Por lo tanto φ ₁ puede ser extendido a un K funcional -positivo ψ ₁ en R × V . Luego

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

es la extensión deseada de φ . De hecho, si ψ ( x )>  N ( x ), tenemos: ( N ( x ),  x ) ∈  K , mientras que

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

conduciendo a una contradicción.

Notas

1. Riesz (1923)
2. Akhiezer (1965)

Referencias

• Castillo, Reńe E. (2005), "Una nota sobre el teorema de Krein" (PDF) , Lecturas Matematicas , 26 , archivado desde el original (PDF) el 2014-02-01 , consultado el 2014-01-18
• Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (en francés), 17 (16), JFM  49.0195.01
• Akhiezer, NI (1965), El problema del momento clásico y algunas preguntas relacionadas en el análisis , Nueva York: Hafner Publishing Co., MR  0184042