Círculo mágico (matemáticas)
Los círculos mágicos fueron inventados por la dinastía Song (960-1279), el matemático chino Yang Hui (c. 1238-1298). Es la disposición de números naturales en círculos donde la suma de los números en cada círculo y la suma de los números en el diámetro son idénticas. Uno de sus círculos mágicos se construyó a partir de 33 números naturales del 1 al 33 dispuestos en cuatro círculos concéntricos, con el 9 en el centro.
Círculos mágicos de Yang Hui
La serie de círculos mágicos de Yang Hui se publicó en su Xugu Zhaiqi Suanfa《續 古 摘 奇 算法》 (Secuela de extractos de maravillas matemáticas) de 1275. Su serie de círculos mágicos incluye: 5 círculos mágicos en un cuadrado, 6 círculos en un anillo, ocho círculos mágicos en círculos concéntricos mágicos cuadrados, 9 círculos mágicos en cuadrados.
Círculo concéntrico mágico de Yang Hui
El círculo concéntrico mágico de Yang Hui tiene las siguientes propiedades
- La suma de los números en cuatro diámetros = 147,
- 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
- La suma de 8 números más 9 en el centro = 147;
- 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
- La suma de ocho radios sin 9 = número mágico 69: como 27 + 15 + 3 + 24 = 69
- La suma de todos los números en cada círculo (sin incluir el 9) = 2 × 69
- Existen 8 semicírculos, donde la suma de números = número mágico 69; hay 16 segmentos de línea (semicírculos y radios) con el número mágico 69, más de un cuadrado mágico de 6 órdenes con solo 12 números mágicos.
Yang Hui magia ocho círculos en un cuadrado
64 números organizados en círculos de ocho números, suma total 2080, suma horizontal / vertical = 260.
Desde la esquina NO en el sentido de las agujas del reloj, la suma de los círculos de 8 números es:
- 40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260
- 14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260
- 45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260
- 37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260
- 47 + 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260
- 7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260
- 38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260
- 48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260
También la suma de los ocho números a lo largo del eje WE / NS
- 14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260
- 49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260
Además, la suma de los 16 números a lo largo de las dos diagonales es igual a 2 por 260:
- 40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 × 260 = 520
Yang Hui Magic Nueve círculos en un cuadrado
72 números del 1 al 72, dispuestos en nueve círculos de ocho números en un cuadrado; con números vecinos formando cuatro círculos de ocho números adicionales: haciendo un total de 13 círculos de ocho números:
| noroeste | norte | nordeste | ||
| x1 | x2 | |||
| W | C | mi | ||
| x3 | x4 | |||
| sudoeste | S | SE |
El círculo adicional x1 contiene números de los círculos NW, N, C y W; x2 contiene números de N, NE, E y C; x3 contiene números de W, C, S y SW; x4 contiene números de C, E, SE y S.
- Suma total de 72 números = 2628;
- suma de números en cualquier círculo de ocho números = 292;
- sumas de tres círculos a lo largo de líneas horizontales = 876;
- suma de tres círculos a lo largo de líneas verticales = 876;
- suma de tres círculos a lo largo de las diagonales = 876.
Círculos mágicos Ding Yidong
Ding Yidong fue un matemático contemporáneo de Yang Hui. En su círculo mágico con 6 anillos, los números de unidad de los 5 anillos exteriores, combinados con el número de unidad del anillo central, forman el siguiente cuadrado mágico:
4 9 2 3 5 7 8 1 6
Método de construcción:
- Sea grupo radial 1 = 1,11,21,31,41
- Sea grupo radial 2 = 2,12,22,32,42
- Sea grupo radial 3 = 3,13,23,33,43
- Sea grupo radial 4 = 4,14,24,34,44
- Sea grupo radial 6 = 6,16,26,36,46
- Sea el grupo radial 7 = 7,17,27,37,47
- Sea grupo radial 8 = 8,18,28,38,48
- Sea grupo radial 9 = 9,19,29,39,49
- Deje grupo central = 5,15,25,35,45
Organizar el grupo 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9 radialmente de manera que
- cada número ocupa una posición en el círculo
- alterne la dirección de modo que un radial tenga el número más pequeño en el exterior, el radial adyacente tenga el número más grande en el exterior.
- Cada grupo ocupa la posición radial correspondiente al número en el cuadrado mágico de Luoshu, es decir, el grupo 1 en la posición 1, el grupo 2 en la posición 2, etc.
- Finalmente, coloque el grupo central en el círculo central, de modo que
- número 5 en el grupo 1 radial
- número 10 en el grupo 2 radial
- número 15 en el grupo 3 radial
- ...
- número 45 en el grupo 9 radial
Círculos mágicos de Cheng Dawei
Cheng Dawei, un matemático de la dinastía Ming, en su libro Suanfa Tongzong enumeró varios círculos mágicos
Ampliación a mayores dimensiones
En 1917, WS Andrews publicó una disposición de los números 1, 2, 3 y 62 en once círculos de doce números cada uno en una esfera que representa los paralelos y meridianos de la Tierra, de modo que cada círculo tiene 12 números que suman 378. [1]
Relación con los cuadrados mágicos
Un círculo mágico se puede derivar de uno o más cuadrados mágicos poniendo un número en cada intersección de un círculo y un radio. Se pueden agregar radios adicionales replicando las columnas del cuadrado mágico.
En el ejemplo de la figura, el siguiente cuadrado mágico más perfecto de 4 × 4 se copió en la parte superior del círculo mágico. Cada número, con 16 agregados, se colocó en la intersección simétrica con respecto al centro de los círculos. Esto da como resultado un círculo mágico que contiene los números del 1 al 32, con cada círculo y diámetro totalizando 132. [1]
| 6 | 15 | 4 | 9 |
| 3 | 10 | 5 | dieciséis |
| 13 | 8 | 11 | 2 |
| 12 | 1 | 14 | 7 |
Referencias
- Lam Lay Yong: Un estudio crítico de Hang Hui Suan Fa 《杨辉 算法》 Singapore University Press 1977
- Wu Wenjun (editor en jefe), Gran Serie de Historia de las Matemáticas Chinas, Vol.6, Parte 6 Yang Hui, sección 2 Círculo mágico (吴文俊 主编 沈 康 身 执笔 《中国 数学 史 大 系》 第六卷 第六 篇 《杨辉》 第二 节 《幻 圆》) ISBN 7-303-04926-6 / O
- Matemáticas chinas
- Dinastía Song
