Un hexágono mágico de orden n es un arreglo de números en una centrada patrón hexagonal con n células en cada borde, de tal manera que los números en cada fila, en las tres direcciones, suma a la misma constante mágica M . Un hexágono mágico normal contiene los números enteros consecutivos de 1 a 3 n 2 - 3 n + 1. Resulta que los hexágonos mágicos normales existen solo para n = 1 (que es trivial, ya que se compone de solo 1 hexágono) y n = 3. Además, la solución de orden 3 es esencialmente única. [1]Meng también dio una prueba constructiva menos intrincada. [2]
El hexágono mágico de orden 3 se ha publicado muchas veces como un "nuevo" descubrimiento. Una referencia temprana, y posiblemente el primer descubridor, es Ernst von Haselberg (1887).
Prueba de hexágonos mágicos normales
Los números en el hexágono son consecutivos y van del 1 al . Por tanto, su suma es un número triangular , a saber
Hay r = (2 n - 1) filas que corren a lo largo de cualquier dirección dada (EW, NE-SW o NW-SE). Cada una de estas filas suman el mismo número M . Por lo tanto:
Esto se puede reescribir como
Multiplicar todo por 32 da
que muestra que debe ser un número entero, por lo tanto, 2n-1 debe ser un factor de 5, es decir, 2n-1 = 1 o 2n-1 = 5. El único que cumplen con esta condición son y , lo que demuestra que no hay hexágonos mágicos normales excepto los de orden 1 y 3.
Hexágonos mágicos anormales
Aunque no hay hexágonos mágicos normales con un orden superior a 3, existen algunos anormales. En este caso, anormal significa comenzar la secuencia de números distintos a 1. Arsen Zahray descubrió estos hexágonos de orden 4 y 5:
Orden 4 M = 111 | Orden 5 M = 244 |
El hexágono de orden 4 comienza con 3 y termina con 39, sus filas suman 111. El hexágono de orden 5 comienza con 6 y termina con 66 y suma 244.
Un hexágono de orden 5 que comienza con 15, termina con 75 y suma 305 es este:
56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50 |
No es posible una suma superior a 305 para hexágonos de orden 5.
Ordene 5 hexágonos, donde las "X" son marcadores de posición para ordenar 3 hexágonos, que completan la secuencia numérica. En la parte superior cabe el hexágono con la suma 38 (números del 1 al 19) y en el inferior de los 26 hexágonos con la suma 0 (números del -9 al 9). (para obtener más información, visite el artículo de Wikipedia en alemán )
39 35-14 21-20 -16-12 37 22 34 -4 XXX -5-7-1 36 XXXX -13-17 30 23XXXXX -6 24-21 26 XXXX -3 0 28-2 XXX 27-11-18 25 -15-9 33-8 29 31 38 32-10 20-19 30 28-18-13-27 -30-28 18 15 13 12 XXX 27 21-22-26 XXXX -11-24 16 19XXXXX -12 10-20 22 XXXX -16-21 11 26 XXX 20 14-19-15 -29-25 17 24 23-10 29 25-17-14-23
Un hexágono de orden 6 se puede ver a continuación. Fue creado por Louis Hoelbling, el 11 de octubre de 2004:
Comienza con 21, termina con 111 y su suma es 546.
Este hexágono mágico de orden 7 fue descubierto usando recocido simulado por Arsen Zahray el 22 de marzo de 2006:
Comienza con 2, termina con 128 y su suma es 635.
Louis K. Hoelbling generó un hexágono mágico de orden 8 el 5 de febrero de 2006:
Comienza con -84 y termina con 84, y su suma es 0.
Hexágonos en T mágicos
Los hexágonos también se pueden construir con triángulos, como muestran los siguientes diagramas.
Orden 2 | Ordene 2 con los números 1–24 |
Este tipo de configuración se puede llamar hexágono en T y tiene muchas más propiedades que el hexágono de hexágonos.
Al igual que con lo anterior, las filas de triángulos corren en tres direcciones y hay 24 triángulos en un hexágono en T de orden 2. En general, un hexágono en T de orden n tienetriangulos. La suma de todos estos números viene dada por:
Si intentamos construir un hexágono en T mágico de lado n , tenemos que elegir n para que sea par, porque hay r = 2 n filas, por lo que la suma en cada fila debe ser
Para que sea un número entero, n debe ser par. Hasta la fecha, se han descubierto hexágonos en T mágicos de orden 2, 4, 6 y 8. El primero fue un T-hexágono mágico de orden 2, descubierto por John Baker el 13 de septiembre de 2003. Desde entonces, John ha estado colaborando con David King, quien descubrió que hay 59,674,527 T-hexágonos mágicos no congruentes de orden 2.
Los hexágonos en T mágicos tienen varias propiedades en común con los cuadrados mágicos, pero también tienen sus propias características especiales. El más sorprendente de estos es que la suma de los números en los triángulos que apuntan hacia arriba es la misma que la suma de los de los triángulos que apuntan hacia abajo (sin importar cuán grande sea el hexágono en T). En el ejemplo anterior,
- 17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7
- = 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18
- = 150
Notas
- ^ Trigg, CW "A Unique Magic Hexagon" , Revista de matemáticas recreativas , enero-febrero de 1964. Consultado el 16 de diciembre de 2009.
- ^
,> "Investigación sobre el hexágono mágico de la Orden 3" , Premios Shing-Tung Yau , octubre de 2008. Consultado el 16 de diciembre de 2009 .
Referencias
- Panadero. JE y King, DR (2004) "El uso del esquema visual para encontrar las propiedades de un hexágono" Matemáticas visuales, Volumen 5, Número 3
- Baker, JE y Baker, AJ (2004) "El hexágono, elección de la naturaleza" Archimedes, Volumen 4