En matemáticas, el teorema de Mahler , introducido por Kurt Mahler ( 1958 ), expresa funciones p -ádicas continuas en términos de polinomios. Sobre cualquier campo , uno tiene el siguiente resultado:
Dejar ser el operador de diferencia anticipada . Entonces para las funciones polinomiales f tenemos la serie de Newton
dónde
es el k- ésimo polinomio del coeficiente binomial.
En el campo de los números reales , la suposición de que la función f es un polinomio puede debilitarse, pero no puede debilitarse hasta la mera continuidad . El teorema de Mahler establece que si f es una función continua con valor p-ádico en los enteros p -ádicos, entonces se mantiene la misma identidad. La relación entre el operador Δ y esta secuencia polinomial es muy parecida a la que existe entre la diferenciación y la secuencia cuyo k- ésimo término es x k .
Es notable que una suposición tan débil como la continuidad sea suficiente; por el contrario, las series de Newton en el campo de los números complejos están mucho más restringidas y requieren que se mantenga el teorema de Carlson . Es un hecho del álgebra que si f es una función polinomial con coeficientes en cualquier campo de característica 0, se cumple la misma identidad cuando la suma tiene un número finito de términos.
Referencias
- Mahler, K. (1958), "Una serie de interpolación para funciones continuas de una variable p-ádica" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 199 : 23–34, ISSN 0075-4102 , MR 0095821