En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Carlson es un teorema de unicidad que fue descubierto por Fritz David Carlson . De manera informal, establece que dos funciones analíticas diferentes que no crecen muy rápido en el infinito no pueden coincidir en los números enteros. El teorema puede obtenerse del teorema de Phragmén-Lindelöf , que en sí mismo es una extensión del teorema del módulo máximo .
El teorema de Carlson se suele invocar para defender la singularidad de una expansión en serie de Newton . El teorema de Carlson ha generalizado análogos para otras expansiones.
Declaración
Suponga que f satisface las siguientes tres condiciones: las dos primeras condiciones limitan el crecimiento de f en el infinito, mientras que la tercera establece que f desaparece en los enteros no negativos.
- f ( z ) es una función completa de tipo exponencial , lo que significa que
- para algunos valores reales C , τ .
- Existe c < π tal que
- f ( n ) = 0 para cualquier número entero no negativo n .
Entonces f es idénticamente cero.
Nitidez
Primera condición
La primera condición puede ser relajada: basta con asumir que f es analítica en Re z > 0 , continua en Re z ≥ 0 , y satisface
para algunos valores reales C , τ .
Segunda condición
Para ver que la segunda condición es aguda, considere la función f ( z ) = sin ( π z ) . Desaparece en los enteros; sin embargo, crece exponencialmente en el eje imaginario con una tasa de crecimiento de c = π y, de hecho, no es idénticamente cero.
Tercera condición
Un resultado, debido a Rubel (1956) , relaja la condición de que f desaparezca en los enteros. Es decir, Rubel demostró que la conclusión del teorema sigue siendo válida si f desaparece en un subconjunto A ⊂ {0, 1, 2,…} de densidad superior 1, lo que significa que
Esta condición es aguda, lo que significa que el teorema falla para los conjuntos A de densidad superior menor que 1.
Aplicaciones
Suponga que f ( z ) es una función que posee todas las diferencias hacia adelante finitas . Considere entonces la serie de Newton
con es el coeficiente binomial yes la n -ésima diferencia hacia adelante . Por construcción, uno tiene entonces que f ( k ) = g ( k ) para todos los enteros no negativos k , de modo que la diferencia h ( k ) = f ( k ) - g ( k ) = 0 . Ésta es una de las condiciones del teorema de Carlson; si h obedece a los demás, entonces h es idénticamente cero, y las diferencias finitas de f determinan de manera única su serie de Newton. Es decir, si existe una serie de Newton para f y la diferencia satisface las condiciones de Carlson, entonces f es única.
Ver también
Referencias
- F. Carlson, Sur une classe de séries de Taylor , (1914) Disertación, Uppsala, Suecia, 1914.
- Riesz, M. (1920). "Sur le principe de Phragmén – Lindelöf". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 20 : 205-107., cor 21 (1921) pág. 6.
- Hardy, GH (1920). "Sobre dos teoremas de F. Carlson y S. Wigert" (PDF) . Acta Mathematica . 42 : 327–339. doi : 10.1007 / bf02404414 .
- EC Titchmarsh , The Theory of Functions (2nd Ed) (1939) Oxford University Press (Ver sección 5.81)
- RP Boas, Jr., Funciones completas , (1954) Academic Press, Nueva York.
- DeMar, R. (1962). "Existencia de funciones de interpolación de tipo exponencial" . Trans. Amer. Matemáticas. Soc . 105 (3): 359–371. doi : 10.1090 / s0002-9947-1962-0141920-6 .
- DeMar, R. (1963). "Desaparición de diferencias centrales" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 14 : 64–67. doi : 10.1090 / s0002-9939-1963-0143907-2 .
- Rubel, LA (1956), "Condiciones necesarias y suficientes para el teorema de Carlson sobre funciones completas", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 83 (2): 417–429, doi : 10.1090 / s0002-9947-1956-0081944-8 , JSTOR 1992882 , MR 0081944 , PMC 528143 , PMID 16578453