Conway se educó en Bedford School y en el Royal College of Music , obteniendo una licenciatura en música en Oxford y una maestría en doctorado en Dublín .
Más tarde se convirtió en organista de All Saints ', Eastbourne en 1908, y St. Andrew's, Wells Street, Londres , en 1917. Cuatro años como organista asistente de la catedral de Wells lo llevaron a Chichester . En 1931 dejó Chichester para convertirse en organista de la catedral de Ely . Se retiró en 1949. Fue durante la época de Conway como organista de la catedral de Chichester cuando se proporcionó un aparato de soplado eléctrico para el órgano de la catedral . El soplador estaba alojado en la habitación del crucero norte , ahora conocida como Sala de plantas, y el viento se transportaba a través del órgano. a través de un conducto subterráneo aún existente.