En estadística , la covarianza de Matérn , también llamada kernel de Matérn , [1] es una función de covarianza utilizada en estadística espacial , geoestadística , aprendizaje automático , análisis de imágenes y otras aplicaciones de análisis estadístico multivariante en espacios métricos . Lleva el nombre del estadístico forestal sueco Bertil Matérn . [2] Se utiliza comúnmente para definir la covarianza estadística entre las mediciones realizadas en dos puntos que están d unidades distantes entre sí. Dado que la covarianza solo depende de las distancias entre puntos, esestacionario . Si la distancia es la distancia euclidiana , la covarianza de Matérn también es isotrópica .
Definición
La covarianza de Matérn entre dos puntos separados por d unidades de distancia viene dada por [3]
dónde es la función gamma ,es la función de Bessel modificada de segundo tipo, y ρ y ν son parámetros positivos de la covarianza.
Un proceso gaussiano con covarianza de Matérn esveces diferenciable en el sentido cuadrático medio. [3] [4]
Densidad espectral
El espectro de potencia de un proceso con covarianza de Matérn definida en es la transformada de Fourier ( n- dimensional) de la función de covarianza de Matérn (véase el teorema de Wiener-Khinchin ). Explícitamente, esto viene dado por
Simplificación para valores específicos de ν
Simplificación para ν medio entero
Cuándo , la covarianza de Matérn se puede escribir como un producto de un exponencial y un polinomio de orden: [5]
lo que da:
- por :
- por :
- por :
El caso gaussiano en el límite de infinito ν
Como , la covarianza de Matérn converge a la función de covarianza exponencial al cuadrado
Serie de Taylor en momentos cero y espectrales
El comportamiento de puede obtenerse mediante la siguiente serie de Taylor (se necesita una referencia, la fórmula siguiente conduce a la división por cero en caso de ):
Cuando se definen, los siguientes momentos espectrales se pueden derivar de la serie de Taylor:
Ver también
Referencias
- ^ Genton, Marc G. (1 de marzo de 2002). "Clases de kernels para aprendizaje automático: una perspectiva estadística" . The Journal of Machine Learning Research . 2 (1/3/2002): 303–304.
- ^ Minasny, B .; McBratney, AB (2005). "El Matérn funciona como modelo general para los variogramas de suelo". Geoderma . 128 (3–4): 192–207. doi : 10.1016 / j.geoderma.2005.04.003 .
- ^ a b c Rasmussen, Carl Edward y Williams, Christopher KI (2006) Procesos gaussianos para el aprendizaje automático
- ^ Santner, TJ, Williams, BJ y Notz, WI (2013). El diseño y análisis de experimentos informáticos. Springer Science & Business Media.
- ^ Abramowitz y Stegun. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . ISBN 0-486-61272-4.