En matemáticas aplicadas , el teorema de Wiener-Khinchin , también conocido como el teorema de Wiener-Khintchine y a veces como el teorema de Wiener-Khinchin-Einstein o el teorema de Khinchin-Kolmogorov , establece que la función de autocorrelación de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio tiene una descomposición espectral dada por el espectro de potencia de ese proceso. [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]
Historia
Norbert Wiener demostró este teorema para el caso de una función determinista en 1930; [8] Aleksandr Khinchin luego formuló un resultado análogo para los procesos estocásticos estacionarios y publicó ese análogo probabilístico en 1934. [9] [10] Albert Einstein explicó, sin pruebas, la idea en un breve memorando de dos páginas en 1914. [11] [12]
El caso de un proceso en tiempo continuo
Para el tiempo continuo, el teorema de Wiener-Khinchin dice que si es un proceso estocástico de sentido amplio cuya función de autocorrelación (a veces llamada autocovarianza ) se define en términos de valor estadístico esperado ,(el asterisco denota un conjugado complejo y, por supuesto, se puede omitir si el proceso aleatorio tiene un valor real), existe y es finito en cada rezago, entonces existe una función monótona en el dominio de la frecuencia tal que
donde la integral es una integral de Riemann-Stieltjes . [1] [13] Este es un tipo de descomposición espectral de la función de autocorrelación. F se denomina función de distribución espectral de potencia y es una función de distribución estadística. A veces se le llama espectro integrado.
La transformada de Fourier de no existe en general, porque las funciones aleatorias estocásticas no son generalmente integrables al cuadrado ni absolutamente integrables . Ni es se supone que es absolutamente integrable, por lo que tampoco es necesario que tenga una transformada de Fourier.
Pero si es absolutamente continuo , por ejemplo, si el proceso es puramente indeterminista, entonceses diferenciable en casi todas partes . En este caso, se puede definir, la densidad espectral de potencia de, tomando la derivada promediada de . Porque las derivadas izquierda y derecha de existen en todas partes, podemos poner en todas partes, [14] (obteniendo que F es la integral de su derivada promediada [15] ), y el teorema se simplifica a
Si ahora se supone que r y S satisfacen las condiciones necesarias para que la inversión de Fourier sea válida, el teorema de Wiener-Khinchin toma la forma simple de decir que r y S son un par de transformadas de Fourier, y
El caso de un proceso de tiempo discreto
Para el caso de tiempo discreto, la densidad espectral de potencia de la función con valores discretos es
dónde
es la función de autocorrelación discreta de , siempre que sea absolutamente integrable. Al ser una secuencia muestreada y de tiempo discreto, la densidad espectral es periódica en el dominio de la frecuencia. Esto se debe al problema del aliasing : la contribución de cualquier frecuencia superior a la frecuencia de Nyquist parece ser igual a la de su alias entre 0 y 1. Por esta razón, el dominio de la función normalmente está restringido a estar entre 0 y 1 o entre −0,5 y 0,5.
Solicitud
El teorema es útil para analizar sistemas lineales invariantes en el tiempo ( sistemas LTI) cuando las entradas y salidas no son integrables al cuadrado, por lo que sus transformadas de Fourier no existen. Un corolario es que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la salida de un sistema LTI es igual al producto de la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de la entrada del sistema por la magnitud al cuadrado de la transformada de Fourier de la respuesta al impulso del sistema. . [16] Esto funciona incluso cuando las transformadas de Fourier de las señales de entrada y salida no existen porque estas señales no son integrables en cuadrado, por lo que las entradas y salidas del sistema no pueden relacionarse directamente con la transformada de Fourier de la respuesta al impulso.
Dado que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una señal es el espectro de potencia de la señal, este corolario equivale a decir que el espectro de potencia de la salida es igual al espectro de potencia de la entrada multiplicado por la función de transferencia de energía .
Este corolario se utiliza en el método paramétrico para la estimación del espectro de potencia.
Discrepancias en terminología
En muchos libros de texto y en gran parte de la literatura técnica se asume tácitamente que la inversión de Fourier de la función de autocorrelación y la densidad espectral de potencia es válida, y el teorema de Wiener-Khinchin se establece, de manera muy simple, como si dijera que la transformada de Fourier de la función de autocorrelación era igual a la densidad espectral de potencia , ignorando todas las cuestiones de convergencia [17] (Einstein es un ejemplo). Pero el teorema (como se indica aquí) fue aplicado por Norbert Wiener y Aleksandr Khinchin a las funciones de muestra (señales) de procesos aleatorios estacionarios de sentido amplio , señales cuyas transformadas de Fourier no existen. El objetivo de la contribución de Wiener fue dar sentido a la descomposición espectral de la función de autocorrelación de una función de muestra de un proceso aleatorio estacionario de sentido amplio incluso cuando las integrales para la transformada de Fourier y la inversión de Fourier no tienen sentido.
Para complicar aún más el problema, la transformada discreta de Fourier siempre existe para secuencias digitales de longitud finita, lo que significa que el teorema se puede aplicar a ciegas para calcular autocorrelaciones de secuencias numéricas. Como se mencionó anteriormente, la relación de estos datos muestreados discretos con un modelo matemático a menudo es engañosa y los errores relacionados pueden aparecer como una divergencia cuando se modifica la longitud de la secuencia.
Algunos autores se refieren a como la función de autocovarianza. Luego proceden a normalizarlo, dividiendo por, para obtener lo que denominan función de autocorrelación.
Referencias
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La teoría básica de Wiener del 'análisis armónico generalizado' no es de ninguna manera probabilística, y los teoremas se aplican a funciones individuales bien definidas más que a conjuntos de funciones [...] Un mayor desarrollo de estas ideas se produce en el trabajo de AI Khintchine (1894 –1959) sobre procesos aleatorios estacionarios (o procesos estocásticos) [...] en contextos en los que no es importante distinguir los dos enfoques, la teoría a menudo se denomina teoría de Wiener-Khintchine.
- ^ Khintchine, Alexander (1934). "Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse". Mathematische Annalen . 109 (1): 604–615. doi : 10.1007 / BF01449156 .
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- ^ C. Chatfield (1989). El análisis de series de tiempo: una introducción (cuarta ed.). Chapman y Hall, Londres. pag. 98. ISBN 0-412-31820-2.
Otras lecturas
- Brockwell, Peter A .; Davis, Richard J. (2002). Introducción a las series de tiempo y la previsión (segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 038721657X.
- Chatfield, C. (1989). El análisis de las series de tiempo: una introducción (cuarta ed.). Londres: Chapman y Hall. ISBN 0412318202.
- Fuller, Wayne (1996). Introducción a las series temporales estadísticas . Serie de Wiley en Probabilidad y Estadística (Segunda ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0471552399.
- Wiener, Norbert (1949). "Extrapolación, interpolación y suavizado de series de tiempo estacionarias". Cambridge, Massachusetts: Technology Press y Johns Hopkins Univ. Prensa. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) (un documento clasificado escrito para el Departamento de Guerra en 1943). - Yaglom, AM (1962). Introducción a la teoría de las funciones aleatorias estacionarias . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice – Hall.