Una función de base radial ( RBF ) es una función de valor real cuyo valor depende solo de la distancia entre la entrada y algún punto fijo, ya sea el origen , de modo que, o algún otro punto fijo , llamado centro , de modo que. Cualquier función que satisface la propiedad es una función radial . La distancia suele ser la distancia euclidiana , aunque a veces se utilizan otras métricas . A menudo se utilizan como colección.que forma una base para algún espacio funcional de interés, de ahí el nombre.
Las sumas de funciones de base radial se utilizan normalmente para aproximar funciones dadas . Este proceso de aproximación también se puede interpretar como un tipo simple de red neuronal ; este fue el contexto en el que se aplicaron originalmente al aprendizaje automático, en el trabajo de David Broomhead y David Lowe en 1988, [1] [2] que surgió de la investigación fundamental de Michael JD Powell de 1977. [3] [4] [5] Los RBF también se utilizan como núcleo en la clasificación de vectores de apoyo . [6] La técnica ha demostrado ser lo suficientemente eficaz y flexible como para que las funciones de base radial ahora se apliquen en una variedad de aplicaciones de ingeniería. [7] [8]
Definición
Una función radial es una función . Cuando se combina con una métrica en un espacio vectorial Una función se dice que es un núcleo radial centrado en . Se dice que una función radial y los núcleos radiales asociados son funciones de base radial si, para cualquier conjunto de nodos
- Los granos son linealmente independientes (por ejemplo en no es una función de base radial)
- Los granos forman una base para un espacio Haar , lo que significa que la matriz de interpolación
Ejemplos de
Los tipos de funciones de base radial comúnmente utilizados incluyen (escritura y usando para indicar un parámetro de forma que se puede utilizar para escalar la entrada del núcleo radial [11] ):
- RBF infinitamente suaves
Estas funciones de base radial son de y son funciones definidas estrictamente positivas [12] que requieren ajustar un parámetro de forma
- Multicuadric :
- Multicuadric :
- Cuadrática inversa :
- Cuadrática inversa :
- Multicuadrico inverso :
- Multicuadrico inverso :
- Spline poliarmónico : * Para splines poliarmónicos de grado uniforme , para evitar problemas numéricos en dónde , la implementación computacional a menudo se escribe como [ cita requerida ] .
- Spline de placa delgada (un spline poliarmónico especial):
- Compactamente soportadas RBFs
Estos RBF son compatibles de forma compacta y, por lo tanto, no son cero solo dentro de un radio de , y por tanto tienen matrices de diferenciación escasas
Aproximación
Las funciones de base radial se usan típicamente para construir aproximaciones de funciones de la forma
donde la función aproximada se representa como una suma de Funciones de base radial, cada una asociada con un centro diferente. , y ponderado por un coeficiente apropiado Los pesos se puede estimar usando los métodos matriciales de mínimos cuadrados lineales , porque la función de aproximación es lineal en los pesos.
Los esquemas de aproximación de este tipo se han utilizado particularmente [ cita requerida ] en la predicción y control de series de tiempo de sistemas no lineales que exhiben un comportamiento caótico suficientemente simple y reconstrucción 3D en gráficos por computadora (por ejemplo, RBF jerárquico y Pose Space Deformation ).
Red RBF
La suma
El aproximado es diferenciable con respecto a los pesos . Por lo tanto, los pesos podrían aprenderse utilizando cualquiera de los métodos iterativos estándar para redes neuronales.
El uso de funciones de base radial de esta manera produce un enfoque de interpolación razonable siempre que el conjunto de ajuste se haya elegido de manera que cubra todo el rango de forma sistemática (los puntos de datos equidistantes son ideales). Sin embargo, sin un término polinomial que sea ortogonal a las funciones de base radial, las estimaciones fuera del conjunto de ajuste tienden a funcionar mal. [ cita requerida ]
Ver también
- Función de covarianza de materia
- Interpolación de función de base radial
Referencias
- ^ Redes de función de base radial Archivado el 23 de abril de 2014 en la Wayback Machine.
- ^ Cabeza de escoba, David H .; Lowe, David (1988). "Interpolación funcional multivariable y redes adaptativas" (PDF) . Sistemas complejos . 2 : 321–355. Archivado desde el original (PDF) el 14 de julio de 2014.
- ^ Michael JD Powell (1977). "Reiniciar procedimientos para el método de gradiente conjugado". Programación matemática . 12 (1): 241-254. doi : 10.1007 / bf01593790 . S2CID 9500591 .
- ^ Sahin, Ferat (1997). Un enfoque de función de base radial para un problema de clasificación de imágenes en color en una aplicación industrial en tiempo real (M.Sc.). Virginia Tech . pag. 26. hdl : 10919/36847 .
Las funciones de base radial fueron introducidas por primera vez por Powell para resolver el problema real de interpolación multivariante.
- ^ Broomhead y Lowe , 1988 , p. 347: "Nos gustaría agradecer al profesor MJD Powell del Departamento de Matemáticas Aplicadas y Física Teórica de la Universidad de Cambridge por proporcionar el estímulo inicial para este trabajo".
- ^ VanderPlas, Jake (6 de mayo de 2015). "Introducción a las máquinas de vectores de soporte" . [O'Reilly] . Consultado el 14 de mayo de 2015 .
- ^ Buhmann, Martin Dietrich (2003). Funciones de base radial: teoría e implementaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0511040207. OCLC 56352083 .
- ^ Biancolini, Marco Evangelos (2018). Funciones de base radial rápidas para aplicaciones de ingeniería . Springer International Publishing. ISBN 9783319750118. OCLC 1030746230 .
- ^ Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 17-25. ISBN 9789812706331.
- ^ Wendland, Holger (2005). Aproximación de datos dispersos . Cambridge: Cambridge University Press. págs. 11, 18–23, 64–66. ISBN 0521843359.
- ^ Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. p. 37. ISBN 9789812706331.
- ^ Fasshauer, Gregory E. (2007). Métodos de aproximación sin malla con MATLAB . Singapur: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. págs. 37–45. ISBN 9789812706331.
Otras lecturas
- Hardy, RL (1971). "Ecuaciones multicuadricas de topografía y otras superficies irregulares". Revista de Investigación Geofísica . 76 (8): 1905-1915. Código bibliográfico : 1971JGR .... 76.1905H . doi : 10.1029 / jb076i008p01905 .
- Hardy, RL (1990). "Teoría y aplicaciones del método multicuadrico-biarmónico, 20 años de Descubrimiento, 1968 1988". Comp. Aplicación matemática . 19 (9/8): 163–208. doi : 10.1016 / 0898-1221 (90) 90272-l .
- Presione, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 3.7.1. Interpolación de funciones de base radial" , Recetas numéricas: El arte de la informática científica (3ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Sirayanone, S., 1988, Estudios comparativos de kriging, multiquadric-biharmonic y otros métodos para resolver problemas de recursos minerales, PhD. Disertación, Departamento de Ciencias de la Tierra, Universidad Estatal de Iowa, Ames, Iowa.
- Sirayanona, S .; Hardy, RL (1995). "El método multicuadrico-biarmónico utilizado para recursos minerales, meteorológicos y otras aplicaciones". Revista de Ciencias Aplicadas y Computaciones . 1 : 437–475.