En mecánica continua , la derivada material [1] [2] describe la tasa de cambio en el tiempo de alguna cantidad física (como calor o momento ) de un elemento material que está sujeto a un campo de velocidad macroscópico dependiente del espacio y el tiempo . El derivado material puede servir como enlace entre las descripciones eulerianas y lagrangianas de la deformación del continuo . [3]
Por ejemplo, en dinámica de fluidos , el campo de velocidad es la velocidad del flujo y la cantidad de interés podría ser la temperatura del fluido. En cuyo caso, el derivado de material, entonces se describe el cambio de temperatura de un determinado paquete de fluido con el tiempo, a medida que fluye a lo largo de su pathline (trayectoria).
La derivada material se define para cualquier campo tensorial y que sea macroscópico , con el sentido de que depende solo de las coordenadas de posición y tiempo, y = y ( x , t ) :
donde ∇ y es la derivada covariante del tensor y u ( x , t ) es la velocidad del flujo . En general, la derivada convectiva del campo u · ∇ y , la que contiene la derivada covariante del campo, se puede interpretar como que involucra la derivada del tensor de línea de corriente del campo u · (∇ y ), o como que involucra la derivada direccional de línea de corriente. del campo ( u · ∇) y , lo que conduce al mismo resultado. [10] Solo este término espacial que contiene la velocidad del flujo describe el transporte del campo en el flujo, mientras que el otro describe la variación intrínseca del campo, independientemente de la presencia de cualquier flujo. De manera confusa, a veces el nombre "derivada convectiva" se usa para la derivada material completa D / Dt , en lugar de sólo para el término espacial u · ∇. [2] El efecto de los términos independientes del tiempo en las definiciones son para el caso escalar y tensorial, respectivamente, conocidos como advección y convección.
Por ejemplo, para un campo escalar macroscópico φ ( x , t ) y un campo vectorial macroscópico A ( x , t ) la definición se convierte en:
En el caso escalar, ∇ φ es simplemente el gradiente de un escalar, mientras que ∇ A es la derivada covariante del vector macroscópico (que también se puede considerar como la matriz jacobiana de A en función de x ). En particular, para un campo escalar en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional ( x 1 , x 2 , x 3 ), las componentes de la velocidad u son u 1 , u 2 , u 3 , y el término convectivo es entonces: