Las derivadas de escalares , vectores y tensores de segundo orden con respecto a los tensores de segundo orden son de considerable utilidad en la mecánica del continuo . Estas derivadas se utilizan en las teorías de elasticidad y plasticidad no lineal , particularmente en el diseño de algoritmos para simulaciones numéricas . [1]
La derivada direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estas derivadas. [2]
Derivadas con respecto a vectores y tensores de segundo ordenGradiente de un campo tensorialEl gradiente ,, de un campo tensorial en la dirección de un vector constante arbitrario c se define como:
El gradiente de un campo tensorial de orden n es un campo tensorial de orden n +1.
Coordenadas cartesianas
- Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.
Si son los vectores base en un sistema de coordenadas cartesiano , con coordenadas de puntos denotados por (), luego el gradiente del campo tensorial es dado por
Dado que los vectores base no varían en un sistema de coordenadas cartesiano, tenemos las siguientes relaciones para los gradientes de un campo escalar , un campo vectorial v , y un campo tensorial de segundo orden.
Coordenadas curvilíneas
- Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.
Si son los vectores base contravariantes en un sistema de coordenadas curvilíneas , con coordenadas de puntos denotados por (), luego el gradiente del campo tensorial viene dado por (ver [3] para una prueba).
De esta definición tenemos las siguientes relaciones para los gradientes de un campo escalar , un campo vectorial v , y un campo tensorial de segundo orden.
donde el símbolo de Christoffel se define usando
Coordenadas polares cilíndricas
En coordenadas cilíndricas , el gradiente viene dado por
Divergencia de un campo tensorialLa divergencia de un campo tensorial se define usando la relación recursiva
donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial. Sies un campo tensorial de orden n > 1, entonces la divergencia del campo es un tensor de orden n - 1.
Coordenadas cartesianas
- Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.
En un sistema de coordenadas cartesianas tenemos las siguientes relaciones para un campo vectorial v y un campo tensorial de segundo orden.
donde la notación del índice tensorial para derivadas parciales se usa en las expresiones más a la derecha. Tenga en cuenta que
Para un tensor simétrico de segundo orden, la divergencia también se escribe a menudo como [4]
La expresión anterior se usa a veces como la definición de en forma de componente cartesiano (a menudo también escrito como ). Tenga en cuenta que dicha definición no es coherente con el resto de este artículo (consulte la sección sobre coordenadas curvilíneas).
La diferencia radica en si la diferenciación se realiza con respecto a las filas o columnas de , y es convencional. Esto se demuestra con un ejemplo. En un sistema de coordenadas cartesiano, el tensor de segundo orden (matriz) es el gradiente de una función vectorial .
La última ecuación es equivalente a la definición / interpretación alternativa [4]
Coordenadas curvilíneas
- Nota: a continuación se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos.
En coordenadas curvilíneas, las divergencias de un campo vectorial v y un campo tensorial de segundo orden están
Más generalmente,
Coordenadas polares cilíndricas
En coordenadas polares cilíndricas
Curl de un campo tensorialEl rizo de un campo tensorial de orden- n > 1 también se define usando la relación recursiva
donde c es un vector constante arbitrario y v es un campo vectorial.
Curl de un campo tensor (vector) de primer orden
Considere un campo vectorial v y un vector constante arbitrario c . En notación de índice, el producto cruzado viene dado por
dónde es el símbolo de permutación , también conocido como el símbolo de Levi-Civita. Luego,
Por lo tanto,
Curl de un campo tensorial de segundo orden
Para un tensor de segundo orden
Por lo tanto, usando la definición del rizo de un campo tensorial de primer orden,
Por lo tanto, tenemos
Identidades que involucran la curvatura de un campo tensorial
La identidad más comúnmente utilizada que involucra el rizo de un campo tensor, , es
Esta identidad es válida para los campos tensoriales de todos los órdenes. Para el caso importante de un tensor de segundo orden,, esta identidad implica que
Derivada del determinante de un tensor de segundo ordenLa derivada del determinante de un tensor de segundo orden es dado por
En una base ortonormal, los componentes de puede escribirse como una matriz A . En ese caso, el lado derecho corresponde a los cofactores de la matriz.
Derivadas de las invariantes de un tensor de segundo ordenLos principales invariantes de un tensor de segundo orden son
Las derivadas de estos tres invariantes con respecto a están
Prueba |
---|
De la derivada del determinante sabemos que
Para las derivadas de los otros dos invariantes, volvamos a la ecuación característica
Usando el mismo enfoque que para el determinante de un tensor, podemos demostrar que
Ahora el lado izquierdo se puede expandir como
Por eso
o,
Expandir el lado derecho y separar los términos del lado izquierdo da
o,
Si definimos y , podemos escribir lo anterior como
Recopilando términos que contienen varias potencias de λ, obtenemos
Entonces, invocando la arbitrariedad de λ, tenemos
Esto implica que
|
Derivada del tensor de identidad de segundo ordenDerivada de un tensor de segundo orden con respecto a sí mismoDejar ser un tensor de segundo orden. Luego
Por lo tanto,
Aquí es el tensor de identidad de cuarto orden. En notación índice con respecto a una base ortonormal
Este resultado implica que
dónde
Por tanto, si el tensor es simétrica, entonces la derivada también es simétrica y obtenemos
donde el tensor de identidad simétrico de cuarto orden es
Derivada de la inversa de un tensor de segundo ordenIntegración por partesDominio
, su límite
y la unidad exterior normal
Otra operación importante relacionada con las derivadas del tensor en la mecánica del continuo es la integración por partes. La fórmula para la integración por partes se puede escribir como
dónde y son campos tensoriales diferenciables de orden arbitrario, es la unidad normal exterior al dominio sobre el que se definen los campos tensoriales, representa un operador de producto tensorial generalizado, y es un operador de gradiente generalizado. Cuándoes igual al tensor de identidad, obtenemos el teorema de divergencia
Podemos expresar la fórmula para la integración por partes en notación de índice cartesiano como
Para el caso especial donde la operación del producto tensorial es una contracción de un índice y la operación de gradiente es una divergencia, y ambos y son tensores de segundo orden, tenemos
En notación de índice,
Ver tambiénReferencias- ^ JC Simo y TJR Hughes, 1998, Inelasticidad computacional , Springer
- ^ JE Marsden y TJR Hughes, 2000, Fundamentos matemáticos de la elasticidad , Dover.
- ^ Ogden, RW, 2000, Deformaciones elásticas no lineales , Dover.
- ↑ a b Hjelmstad, Keith (2004). Fundamentos de Mecánica Estructural . Springer Science & Business Media. pag. 45. ISBN 9780387233307.