En matemáticas, un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario con valores escalares
este polinomio evaluado en una matriz A es
donde yo es la matriz de identidad . [1]
Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que se cumple para las matrices específicas en cuestión. Una identidad de polinomio de matriz es una ecuación de polinomio de matriz que se aplica a todas las matrices A en un anillo de matriz especificado M n ( R ).
Polinomio característico y mínimo
El polinomio característico de una matriz A es un polinomio con valores escalares, definido por. El teorema de Cayley-Hamilton establece que si este polinomio se ve como un polinomio matricial y se evalúa en la propia matriz A , el resultado es la matriz cero:. El polinomio característico es, pues, un polinomio que aniquila A .
Hay un polinomio mónico único de grado mínimo que aniquila a A ; este polinomio es el polinomio mínimo . Cualquier polinomio que aniquila A (como el polinomio característico) es un múltiplo del polinomio mínimo. [2]
De ello se deduce que dados dos polinomios P y Q , tenemos si y solo si
dónde denota la j- ésima derivada de P yson los valores propios de A con los índices correspondientes(el índice de un valor propio es el tamaño de su bloque de Jordan más grande ). [3]
Serie geométrica de matriz
Los polinomios matriciales se pueden usar para sumar una serie geométrica matricial como lo haría una serie geométrica ordinaria ,
Si me - A es no singular uno puede evaluar la expresión de la suma S .
Ver también
Notas
- ^ Horn y Johnson 1990 , p. 36.
- ^ Horn y Johnson 1990 , Thm 3.3.1.
- ^ Higham 2000 , Thm 1.3.
Referencias
- Gohberg, Israel; Lancaster, Peter ; Rodman, Leiba (2009) [1982]. Polinomios de matriz . Clásicos de Matemática Aplicada. 58 . Lancaster, PA: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . ISBN 978-0-898716-81-8. Zbl 1170.15300 .
- Higham, Nicholas J. (2000). Funciones de las matrices: teoría y computación . SIAM. ISBN 089-871-777-9..
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1990). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-38632-6..