En matemáticas , cada función analítica puede usarse para definir una función matricial que mapea matrices cuadradas con entradas complejas a matrices cuadradas del mismo tamaño.
Esto se utiliza para definir la exponencial de una matriz , que está involucrada en la solución de forma cerrada de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales .
Extendiendo la función escalar a funciones matriciales
Existen varias técnicas para elevar una función real a una función de matriz cuadrada de modo que se mantengan propiedades interesantes. Todas las técnicas siguientes producen la misma función matricial, pero los dominios en los que se define la función pueden diferir.
Serie de potencia
Si la función analítica f tiene la expansión de Taylor
luego una función matricial se puede definir sustituyendo x por una matriz cuadrada : las potencias se convierten en potencias de la matriz , las adiciones se convierten en sumas de matrices y las multiplicaciones por coeficientes se convierten en multiplicaciones escalares . Si la serie converge para, entonces la serie de matrices correspondiente converge para las matrices A tal quepara alguna norma matricial que satisfaga.
Matrices diagonalizables
Una matriz cuadrada A es diagonalizable , si hay una matriz P invertible tal quees una matriz diagonal , es decir, D tiene la forma
Como es natural establecer
Se puede verificar que la matriz de f ( A ) no depende de una elección particular de P .
Por ejemplo, suponga que uno está buscando por
Uno tiene
por
La aplicación de la fórmula simplemente rinde
Igualmente,
Descomposición de Jordan
Todas las matrices complejas, sean diagonalizables o no, tienen una forma normal de Jordan. , donde la matriz J consta de bloques de Jordan . Considere estos bloques por separado y aplique la serie de potencias a un bloque de Jordan:
Esta definición puede usarse para extender el dominio de la función matricial más allá del conjunto de matrices con radio espectral menor que el radio de convergencia de la serie de potencias. Tenga en cuenta que también existe una conexión con las diferencias divididas .
Una noción relacionada es la descomposición de Jordan-Chevalley que expresa una matriz como la suma de una parte diagonalizable y una nilpotente.
Matrices hermitianas
Una matriz hermitiana tiene todos los valores propios reales y siempre se puede diagonalizar mediante una matriz unitaria P, de acuerdo con el teorema espectral . En este caso, la definición de Jordan es natural. Además, esta definición permite extender las desigualdades estándar para funciones reales:
Si para todos los valores propios de , luego . (Como convención,es una matriz semidefinida positiva .) La demostración se sigue directamente de la definición.
Integral de Cauchy
Fórmula integral de Cauchy de análisis complejo también se puede utilizar para generalizar funciones escalares a las funciones de la matriz. La fórmula integral de Cauchy establece que para cualquier función analítica f definida en un conjunto D ⊂ ℂ , uno tiene
donde C es una curva simple cerrada dentro del dominio D que encierra x .
Ahora, sustituir x por una matriz A y considerar una trayectoria C en el interior D que encierra todos los valores propios de A . Una posibilidad de lograr esto es dejar que C sea un círculo alrededor del origen con un radio mayor que " A " para una norma de matriz arbitraria "•". Entonces, f ( A ) es definible por
Esta integral se puede evaluar fácilmente numéricamente usando la regla del trapecio , que converge exponencialmente en este caso. Eso significa que la precisión del resultado se duplica cuando se duplica el número de nodos. En casos de rutina, esto se pasa por alto con la fórmula de Sylvester .
Esta idea aplicada a operadores lineales acotados en un espacio de Banach , que pueden verse como matrices infinitas, conduce al cálculo funcional holomórfico .
Perturbaciones de la matriz
La serie de potencias de Taylor anterior permite que el escalar para ser reemplazado por la matriz. Esto no es cierto en general cuando se expande en términos de acerca de a no ser que . Un contraejemplo es, que tiene una serie de Taylor de longitud finita. Calculamos esto de dos maneras,
- Ley distributiva:
- Usando la expansión escalar de Taylor para y reemplazando escalares con matrices al final:
La expresión escalar asume conmutatividad mientras que la expresión matricial no, y por lo tanto no pueden equipararse directamente a menos que . Para algunos f ( x ), esto puede tratarse utilizando el mismo método que la serie escalar de Taylor. Por ejemplo,. Si existe entonces . La expansión del primer término sigue luego la serie de potencias dada anteriormente,
A continuación, se aplican los criterios de convergencia de la serie de potencias, que requieren ser suficientemente pequeño bajo la norma de matriz apropiada. Para problemas más generales, que no se pueden reescribir de tal manera que las dos matrices conmuten, se debe rastrear el orden de los productos de la matriz producidos por la aplicación repetida de la regla de Leibniz.
Función arbitraria de una matriz de 2 × 2
Una función arbitraria f (A) de una matriz A de 2 × 2 tiene su fórmula de Sylvester simplificada a
dónde son los valores propios de su ecuación característica, | A-λI | = 0, y están dados por
Ejemplos de
- Polinomio de matriz
- Raíz de matriz
- Logaritmo matricial
- Matriz exponencial
- Función de signo de matriz [1]
Clases de funciones matriciales
Usando el orden semidefinito (es positivo-semidefinito yes definida positiva ), algunas de las clases de funciones escalares pueden extenderse a funciones matriciales de matrices hermitianas . [2]
Operador monótono
Una función f se llama operador monótona si y solo sipara todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f . Esto es análogo a la función monótona en el caso escalar.
Operador cóncavo / convexo
Una función f se llama operador cóncava si y solo si
para todas las matrices autoadjuntas A , H con espectros en el dominio de f y. Esta definición es análoga a una función escalar cóncava . Se puede definir una función convexa del operador conmutando a en la definición anterior.
Ejemplos de
El registro de la matriz es tanto el operador monótono como el operador cóncavo. El cuadrado de la matriz es el operador convexo. La matriz exponencial no es ninguna de estas. El teorema de Loewner establece que una función en un intervalo abierto es operador monótona si y solo si tiene una extensión analítica a los semiplanos complejos superior e inferior, de modo que el semiplano superior se mapea a sí mismo. [2]
Ver también
- Ecuación algebraica de Riccati
- Fórmula de Sylvester
- Orden Loewner
- Cálculo de matrices
- Rastrear desigualdades
- Funciones trigonométricas de matrices
Notas
- ↑ Higham, Nick (15 de diciembre de 2020). "¿Qué es la función de signo matricial?" . Nick Higham . Consultado el 27 de diciembre de 2020 .
- ^ a b Bhatia, R. (1997). Análisis matricial . Textos de Posgrado en Matemáticas. 169 . Saltador.
Referencias
- Higham, Nicholas J. (2008). Funciones de la teoría y el cálculo de matrices . Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas. ISBN 9780898717778.