Rango (álgebra lineal)

La dimensión del espacio vectorial generado por las columnas de una matriz.

En álgebra lineal , el rango de una matriz A es la dimensión del espacio vectorial generado (o expandido ) por sus columnas. ^{[1] [2] [3]} Esto corresponde a la cantidad máxima de linealmente independientes columnas de A . Esto, a su vez, es idéntico a la dimensión del espacio vectorial abarcado por sus filas. ^{[4] El} rango es, por tanto, una medida de la " no degeneración " del sistema de ecuaciones lineales y transformación lineal codificada por A. Existen múltiples definiciones equivalentes de rango. El rango de una matriz es una de sus características más fundamentales.

El rango se denota comúnmente por rango ( A ) o rk ( A ) ; ^[2] a veces los paréntesis no se escriben, como en rango A . ^[I]

Definiciones principales

En esta sección, damos algunas definiciones del rango de una matriz. Son posibles muchas definiciones; consulte Definiciones alternativas para varios de estos.

El rango de columna de A es la dimensión de la espacio de columnas de A , mientras que el rango de fila de A es la dimensión de la espacio fila de A .

Un resultado fundamental en el álgebra lineal es que el rango de la columna y el rango de la fila son siempre iguales. (Dos pruebas de este resultado se dan en § Pruebas de que Rango de la columna = rango fila , a continuación.) Este número (es decir, el número de filas o columnas linealmente independientes) se llama simplemente el rango de A .

Se dice que una matriz tiene rango completo si su rango es igual al mayor posible para una matriz de las mismas dimensiones, que es el número menor de filas y columnas. Se dice que una matriz tiene un rango deficiente si no tiene un rango completo. La deficiencia de rango de una matriz es la diferencia entre el menor entre el número de filas y columnas y el rango.

El rango de un mapa u operador lineal se define como la dimensión de su imagen : ^{[5] [6] [7] [8]}${\displaystyle \Phi }$

$${\displaystyle \operatorname {rank} (\Phi ):=\dim(\operatorname {img} (\Phi ))}$$

donde es la dimensión de un espacio vectorial y es la imagen de un mapa.${\displaystyle \dim }$${\displaystyle \operatorname {img} }$

Ejemplos

La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{bmatrix}}}$

tiene rango 2: las dos primeras columnas son linealmente independientes , por lo que el rango es al menos 2, pero como la tercera es una combinación lineal de las dos primeras (la segunda se resta de la primera), las tres columnas son linealmente dependientes, por lo que el rango debe ser inferior a 3.

La matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}}$

tiene rango 1: hay columnas distintas de cero, por lo que el rango es positivo, pero cualquier par de columnas es linealmente dependiente. Del mismo modo, la transposición

${\displaystyle A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{bmatrix}}}$

de A tiene rango 1. De hecho, dado que los vectores de columna de A son los vectores de fila de la transpuesta de A , la afirmación de que el rango de la columna de una matriz es igual a su rango de fila es equivalente a la afirmación de que el rango de una matriz es igual al rango de su transposición, es decir, rango ( A ) = rango ( A ^T ) .

Calcular el rango de una matriz

Clasificación de las formas escalonadas de la fila

Artículo principal: eliminación gaussiana

Un enfoque común para encontrar el rango de una matriz es reducirlo a una forma más simple, generalmente forma escalonada por filas , mediante operaciones de fila elementales . Las operaciones de filas no cambian el espacio de las filas (por lo tanto, no cambian el rango de las filas) y, al ser invertibles, asignan el espacio de las columnas a un espacio isomorfo (por lo tanto, no cambian el rango de las columnas). Una vez en la forma escalonada de fila, el rango es claramente el mismo para el rango de fila y el rango de columna, y es igual al número de pivotes (o columnas básicas) y también al número de filas distintas de cero.

Por ejemplo, la matriz A dada por

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}}$

se puede poner en forma de escalón de filas reducido utilizando las siguientes operaciones de fila elementales:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}&\xrightarrow {2R_{1}+R_{2}\to R_{2}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-3R_{1}+R_{3}\to R_{3}} {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {R_{2}+R_{3}\to R_{3}} \,\,{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {-2R_{2}+R_{1}\to R_{1}} {\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

La matriz final (en forma escalonada de filas) tiene dos filas distintas de cero y, por lo tanto, el rango de la matriz A es 2.

Computación

Cuando se aplica a cálculos de punto flotante en computadoras, la eliminación gaussiana básica ( descomposición LU ) puede no ser confiable y, en su lugar, se debe usar una descomposición que revele el rango. Una alternativa eficaz es la descomposición de valor singular (SVD), pero existen otras opciones menos costosas, como la descomposición QR con pivoteo (la denominada factorización QR reveladora de rango ), que son aún más robustas numéricamente que la eliminación gaussiana. La determinación numérica del rango requiere un criterio para decidir cuándo un valor, como un valor singular de la SVD, debe tratarse como cero, una elección práctica que depende tanto de la matriz como de la aplicación.

Pruebas de que el rango de la columna = el rango de la fila

El hecho de que los rangos de columnas y filas de cualquier matriz sean formas iguales es fundamental en el álgebra lineal. Se han dado muchas pruebas. Uno de los más elementales ha sido esbozado en § Clasificar a partir de formas escalonadas por filas . Aquí hay una variante de esta prueba:

Es sencillo mostrar que ni el rango de fila ni el rango de columna se modifican mediante una operación de fila elemental . A medida que la eliminación gaussiana procede mediante operaciones de fila elementales, la forma escalonada de fila reducida de una matriz tiene el mismo rango de fila y el mismo rango de columna que la matriz original. Otras operaciones de columna elementales permiten poner la matriz en forma de matriz de identidad posiblemente bordeada por filas y columnas de ceros. Nuevamente, esto no cambia ni el rango de la fila ni el rango de la columna. Es inmediato que los rangos de filas y columnas de esta matriz resultante es el número de sus entradas distintas de cero.

Presentamos otras dos pruebas de este resultado. El primero usa solo propiedades básicas de combinaciones lineales de vectores y es válido en cualquier campo . La prueba se basa en Wardlaw (2005). ^[9] El segundo usa la ortogonalidad y es válido para matrices sobre los números reales ; se basa en Mackiw (1995). ^[4] Ambas pruebas se pueden encontrar en el libro de Banerjee y Roy (2014). ^[10]

Prueba mediante combinaciones lineales

Sea A una matriz m × n . Deje que el rango de la columna A sea r , y dejar que c ₁ , ..., c _r sea ninguna base para el espacio columna de A . Colóquelos como las columnas de una matriz C de m × r . Cada columna de A se puede expresar como una combinación lineal de los r columnas en C . Esto significa que hay una matriz R de r × n tal que A = CR . Res la matriz cuyas i ésima columna está formada a partir de los coeficientes que dan la i ésima columna de A como una combinación lineal de los r columnas de C . En otras palabras, R es la matriz que contiene los múltiplos de las bases del espacio columna de A (que es C ), que luego se utilizan para formar A como un todo. Ahora, cada fila de A viene dado por una combinación lineal de las r filas de R . Por lo tanto, las filas de R forman un conjunto de expansión del espacio de filas de A y, según el lema de intercambio de Steinitz, el rango de fila de A no puede exceder r . Esto demuestra que el rango fila de A es menor o igual al rango de la columna A . Este resultado se puede aplicar a cualquier matriz, por lo que se aplica el resultado a la transpuesta de A . Dado que el rango de fila de la transpuesta de A es el rango de columna de A y el rango de columna de la transpuesta de A es el rango de fila de A , esto establece la desigualdad inversa y obtenemos la igualdad del rango de fila y el rango de columna de Una . (Consulte también Factorización de rango ).

Prueba mediante ortogonalidad

Sea A una matriz m  ×  n con entradas en los números reales cuyo rango de fila es r . Por lo tanto, la dimensión del espacio de filas de A es r . Vamos x ₁ , x ₂ , ..., x _r haber una base del espacio fila de A . Afirmamos que los vectores A x ₁ , A x ₂ ,…, A x _r son linealmente independientes. Para ver por qué, considere una relación lineal homogénea que involucra estos vectores con coeficientes escalares c ₁ , c ₂ ,…, c _r :

${\displaystyle 0=c_{1}A\mathbf {x} _{1}+c_{2}A\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}A\mathbf {x} _{r}=A(c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r})=A\mathbf {v} ,}$

donde v = c ₁ x ₁ + c ₂ x ₂ + ⋯ + c _r x _r . Hacemos dos observaciones: (a) v es una combinación lineal de vectores en el espacio de filas de A , lo que implica que v pertenece al espacio de filas de A , y (b) dado que A v = 0 , el vector v es ortogonal a cada vector fila de a y, por lo tanto, es ortogonal a cada vector en el espacio de fila de a . Los hechos (a) y (b) juntos implican quev es ortogonal a sí mismo, lo que demuestra que v = 0 o, por la definición de v ,

${\displaystyle c_{1}\mathbf {x} _{1}+c_{2}\mathbf {x} _{2}+\cdots +c_{r}\mathbf {x} _{r}=0.}$

Pero recuerde que las x _i se eligieron como base del espacio de filas de A y, por lo tanto, son linealmente independientes. Esto implica que c ₁ = c ₂ = ⋯ = c _r = 0 . De ello se deduce que A x ₁ , A x ₂ ,…, A x _r son linealmente independientes.

Ahora, cada uno de A x _i es obviamente un vector en el espacio columna de A . Entonces, A x ₁ , A x ₂ ,…, A x _r es un conjunto de r vectores linealmente independientes en el espacio columna de A y, por lo tanto, la dimensión del espacio columna de A (es decir, el rango de columna de A ) debe ser al menos tan grande como r . Esto demuestra que el rango fila de A no es mayor que el rango de la columna A . Ahora aplique este resultado a la transposición de A para obtener la desigualdad inversa y concluir como en la demostración anterior.

Definiciones alternativas

En todas las definiciones de esta sección, la matriz A se considera una matriz m × n sobre un campo F arbitrario .

Dimensión de la imagen

Dada la matriz , hay un mapeo lineal asociado${\displaystyle A}$

${\displaystyle f:F^{n}\mapsto F^{m}}$

definido por

${\displaystyle f(x)=Ax}$.

El rango de es la dimensión de la imagen de . Esta definición tiene la ventaja de que se puede aplicar a cualquier mapa lineal sin necesidad de una matriz específica.${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

Rango en términos de nulidad

Dado el mismo mapeo lineal f que el anterior, el rango es n menos la dimensión del núcleo de f . El teorema de rango-nulidad establece que esta definición es equivalente a la anterior.

Rango de columna: dimensión del espacio de la columna

El rango de A es el número máximo de columnas de A linealmente independientes ; esta es la dimensión del espacio columna de A (el espacio columna es el subespacio de F ^m generado por las columnas de A , que de hecho es solo la imagen del mapa lineal f asociado a A ).${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2},\dots ,\mathbf {c} _{k}}$

Rango de fila: dimensión del espacio de fila

El rango de A es el número máximo de filas de A linealmente independientes ; esto es la dimensión de la espacio fila de A .

Rango de descomposición

El rango de A es el número entero más pequeño k tal que A se puede factorizar como , donde C es una matriz m × k y R es una matriz k × n . De hecho, para todos los enteros k , los siguientes son equivalentes:${\displaystyle A=CR}$

1. el rango de la columna de A es menor o igual que k ,
2. existen k columnas de tamaño m tales que cada columna de A es una combinación lineal de ,${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$
3. existe una matriz C y una matriz R tal que (cuando k es el rango, esta es una factorización de rango de A ),${\displaystyle m\times k}$${\displaystyle k\times n}$${\displaystyle A=CR}$
4. existen k filas de tamaño n tal que cada fila de A es una combinación lineal de ,${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{k}}$
5. el rango de fila de A es menor o igual que k .

De hecho, las siguientes equivalencias son obvias: . Por ejemplo, para demostrar (3) a partir de (2), tome C como la matriz cuyas columnas son de (2). Para probar (2) a partir de (3), tomar a ser las columnas de C .${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (2)\Leftrightarrow (3)\Leftrightarrow (4)\Leftrightarrow (5)}$${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\ldots ,\mathbf {c} _{k}}$

De la equivalencia se deduce que el rango de la fila es igual al rango de la columna.${\displaystyle (1)\Leftrightarrow (5)}$

Como en el caso de la caracterización de la "dimensión de la imagen", esto se puede generalizar a una definición del rango de cualquier mapa lineal: el rango de un mapa lineal f  : V → W es la dimensión mínima k de un espacio intermedio X tal que f puede ser escrita como la composición de un mapa V → X y un mapa X → W . Desafortunadamente, esta definición no sugiere una manera eficiente de calcular el rango (para lo cual es mejor usar una de las definiciones alternativas). Consulte la factorización de rangos para obtener más detalles.

Clasificación en términos de valores singulares

El rango de A es igual al número de valores singulares distintos de cero , que es el mismo que el número de elementos diagonales distintos de cero en Σ en la descomposición de valores singulares .${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$

Rango determinante: tamaño del menor más grande que no desaparece

El rango de A es el mayor pedido de cualquier no-cero de menor importancia en una . (El orden de un menor es la longitud del lado de la submatriz cuadrada de la cual es el determinante). Al igual que la caracterización del rango de descomposición, esto no proporciona una forma eficiente de calcular el rango, pero es útil teóricamente: a un solo menor distinto de cero atestigua un límite inferior (es decir, su orden) para el rango de la matriz, que puede ser útil (por ejemplo) para demostrar que ciertas operaciones no reducen el rango de una matriz.

Un p -menor que no desaparece ( p × p submatriz con determinante distinto de cero) muestra que las filas y columnas de esa submatriz son linealmente independientes y, por lo tanto, esas filas y columnas de la matriz completa son linealmente independientes (en la matriz completa) , por lo que el rango de fila y columna es al menos tan grande como el rango determinante; sin embargo, lo contrario es menos sencillo. La equivalencia del rango determinante y el rango de la columna refuerza la afirmación de que si el intervalo de n vectores tiene dimensión p, entonces p de esos vectores abarcan el espacio (de manera equivalente, que uno puede elegir un conjunto de expansión que sea un subconjuntode los vectores): la equivalencia implica que un subconjunto de las filas y un subconjunto de las columnas definen simultáneamente una submatriz invertible (de manera equivalente, si el intervalo de n vectores tiene dimensión p, entonces p de estos vectores abarcan el espacio y hay una conjunto de coordenadas p de las que son linealmente independientes).

Rango de tensor: número mínimo de tensores simples

Artículos principales: Descomposición de rango de tensor y rango de tensor

El rango de A es el número más pequeño k tal que A puede escribirse como una suma de k matrices de rango 1, donde se define que una matriz tiene rango 1 si y solo si puede escribirse como un producto distinto de cero de un vector de columna c y un vector de fila r . Esta noción de rango se llama rango tensorial ; se puede generalizar en la interpretación de modelos separables de la descomposición de valores singulares .${\displaystyle c\cdot r}$

Propiedades

Suponemos que A es una matriz m × n , y definimos el mapa lineal f por f ( x ) = A x como arriba.

• El rango de un m × n matriz es un no negativo número entero y no puede ser mayor que cualquiera de m o n . Es decir,

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).}$

Se dice que una matriz que tiene rango min ( m , n ) tiene rango completo ; de lo contrario, la matriz tiene un rango deficiente .

• Solo una matriz cero tiene rango cero.
• f es inyectiva (o "uno a uno") si y solo si A tiene rango n (en este caso, decimos que A tiene rango de columna completo ).
• f es sobreyectiva (o "sobre") si y solo si A tiene rango m (en este caso, decimos que A tiene rango de fila completo ).
• Si A es una matriz cuadrada (es decir, m = n ), entonces A es invertible si y solo si A tiene rango n (es decir, A tiene rango completo).
• Si B es cualquier matriz n × k , entonces

${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)).}$

• Si B es una matriz n × k de rango n , entonces

${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).}$

• Si C es una matriz l × m de rango m , entonces

${\displaystyle \operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).}$

• El rango de A es igual a r si y solo si existe una matriz X m × m invertible y una matriz Y n × n invertible tal que

${\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},}$

donde I _r denota la matriz identidad r × r .

• Desigualdad de rango de Sylvester : si A es unamatriz m × n y B es n × k , entonces

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}$^[ii]

Este es un caso especial de la siguiente desigualdad.

• La desigualdad debida a Frobenius : si se definen AB , ABC y BC , entonces

${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)+\operatorname {rank} (BC)\leq \operatorname {rank} (B)+\operatorname {rank} (ABC).}$^[iii]

• Subaditividad:

${\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)}$

cuando A y B son de la misma dimensión. Como consecuencia, una matriz de rango k se puede escribir como la suma de k matrices de rango 1, pero no menos.

• El rango de una matriz más la nulidad de la matriz es igual al número de columnas de la matriz. (Este es el teorema de rango-nulidad ).
• Si A es una matriz sobre los números reales, entonces el rango de A y el rango de su correspondiente matriz de Gram son iguales. Por lo tanto, para matrices reales

${\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }).}$

Esto se puede demostrar demostrando la igualdad de sus espacios nulos . El espacio nulo de la matriz de Gram viene dado por los vectores x para los cuales Si se cumple esta condición, también tenemos ^[11]${\displaystyle A^{\mathrm {T} }A\mathbf {x} =0.}$${\displaystyle 0=\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }Ax=\left|A\mathbf {x} \right|^{2}.}$

• Si A es una matriz sobre los números complejos y denota el conjugado complejo de A y A ^∗ la transpuesta conjugada de A (es decir, el adjunto de A ), entonces${\displaystyle {\overline {A}}}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} ({\overline {A}})=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A^{*})=\operatorname {rank} (A^{*}A)=\operatorname {rank} (AA^{*}).}$

Aplicaciones

Una aplicación útil para calcular el rango de una matriz es el cálculo del número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales . Según el teorema de Rouché-Capelli , el sistema es inconsistente si el rango de la matriz aumentada es mayor que el rango de la matriz de coeficientes . Si, por otro lado, los rangos de estas dos matrices son iguales, entonces el sistema debe tener al menos una solución. La solución es única si y solo si el rango es igual al número de variables. De lo contrario, la solución general tiene k parámetros libres donde kes la diferencia entre el número de variables y el rango. En este caso (y asumiendo que el sistema de ecuaciones está en números reales o complejos) el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones.

En la teoría de control , el rango de una matriz se puede usar para determinar si un sistema lineal es controlable u observable .

En el campo de la complejidad de la comunicación , el rango de la matriz de comunicación de una función da límites a la cantidad de comunicación necesaria para que dos partes calculen la función.

Generalización

Existen diferentes generalizaciones del concepto de rango a matrices sobre anillos arbitrarios , donde el rango de la columna, el rango de la fila, la dimensión del espacio de la columna y la dimensión del espacio de la fila de una matriz pueden ser diferentes de los demás o no existir.

Pensando en las matrices como tensores , el rango del tensor se generaliza a tensores arbitrarios; para tensores de orden mayor que 2 (las matrices son tensores de orden 2), el rango es muy difícil de calcular, a diferencia de las matrices.

Existe una noción de rango para mapas suaves entre variedades suaves . Es igual al rango lineal de la derivada .

Matrices como tensores

El rango de la matriz no debe confundirse con el orden tensorial , que se denomina rango tensorial. El orden tensorial es el número de índices necesarios para escribir un tensor y, por lo tanto, todas las matrices tienen orden tensorial 2. Más precisamente, las matrices son tensores de tipo (1,1), que tienen un índice de fila y un índice de columna, también llamado orden covariante 1 y orden contravariante 1; consulte Tensor (definición intrínseca) para obtener más detalles.

El rango del tensor de una matriz también puede significar el número mínimo de tensores simples necesarios para expresar la matriz como una combinación lineal, y que esta definición concuerda con el rango de la matriz como se discutió aquí.

Ver también

• Rango matroide
• Rango no negativo (álgebra lineal)
• Rango (topología diferencial)
• Multicolinealidad
• Dependencia lineal

Notas

1. La notación alternativa incluyede Katznelson & Katznelson (2008 , p. 52, §2.5.1) y Halmos (1974 , p. 90, § 50).${\displaystyle \rho (\Phi )}$
2. Prueba. Aplicar el teorema de rango-nulidad a la desigualdad
   $${\displaystyle \dim \ker(AB)\leq \dim \ker(A)+\dim \ker(B).}$$
3. Prueba. El mapa
   $${\displaystyle C:\ker(ABC)/\ker(BC)\to \ker(AB)/\ker(B)}$$
   está bien definido e inyectivo. De este modo obtenemos la desigualdad en términos de dimensiones del núcleo, que luego se puede convertir a la desigualdad en términos de rangos mediante el teorema de rango-nulidad . Alternativamente, si es un subespacio lineal, entonces ; aplicar esta desigualdad al subespacio definido por el complemento ortogonal de la imagen de en la imagen de , cuya dimensión es ; su imagen debajo tiene dimensión .${\displaystyle M}$${\displaystyle \dim(AM)\leq \dim(M)}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {rank} (B)-\operatorname {rank} (BC)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {rank} (AB)-\operatorname {rank} (ABC)}$

Referencias

1. Axler (2015) págs. 111-112, §§ 3.115, 3.119
2. Roman (2005) p. 48, párrafo 1.16
3. Bourbaki, Álgebra , cap. II, §10.12, pág. 359
4. Mackiw, G. (1995), "A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix", Mathematics Magazine , 68 (4): 285-286, doi : 10.1080 / 0025570X.1995.11996337
5. Hefferon (2020) p. 200, cap. 3, definición 2.1
6. Katznelson y Katznelson (2008) p. 52, párrafo 2.5.1
7. Valenza (1993) p. 71, párrafo 4.3
8. Halmos (1974) p. 90, párrafo 50
9. Wardlaw, William P. (2005), "El rango de fila es igual al rango de columna", Revista de matemáticas , 78 (4): 316–318, doi : 10.1080 / 0025570X.2005.11953349 , S2CID 218542661 
10. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis de matrices para estadística , Textos en ciencia estadística (1a ed.), Chapman y Hall / CRC, ISBN 978-1420095388
11. Mirsky, Leonid (1955). Introducción al álgebra lineal . Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-66434-7.

Fuentes

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Licenciatura en Matemáticas (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Textos de Licenciatura en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Hefferon, Jim (2020). Álgebra lineal (4ª ed.). ISBN 978-1-944325-11-4.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Licenciatura en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Álgebra lineal: una introducción a las matemáticas abstractas . Textos de Licenciatura en Matemáticas (3ª ed.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.

Lectura adicional

• Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1985). Análisis matricial . ISBN 978-0-521-38632-6.
• Kaw, Autar K. Dos capítulos del libro Introducción al álgebra de matrices: 1. Vectores [1] y sistema de ecuaciones [2]
• Mike Brookes: Manual de referencia de Matrix. [3]