dónde es la temperatura inversa y las frecuencias generalmente se toman de cualquiera de los dos conjuntos siguientes (con ):
frecuencias bosónicas:
frecuencias fermiónicas:
La suma convergerá si tiende a 0 en límite de una manera más rápida que . La suma de las frecuencias bosónicas se denota como (con ), mientras que sobre frecuencias fermiónicas se denota como (con ). es el signo estadístico.
Además de la teoría del campo cuántico térmico, el método de suma de frecuencias de Matsubara también juega un papel esencial en el enfoque diagramático de la física del estado sólido, es decir, si se consideran los diagramas a temperatura finita. [1] [2]
En general, si en , cierto diagrama de Feynman está representado por una integral, a temperatura finita está dada por la suma .
Formalismo de suma
Formalismo general
Figura 1.
Figura 2.
El truco para evaluar la suma de frecuencias de Matsubara es usar una función de ponderación de Matsubara h η ( z ) que tiene polos simples ubicados exactamente en. Las funciones de ponderación en el caso del bosón η = +1 y el caso del fermión η = −1 difieren. La elección de la función de ponderación se discutirá más adelante. Con la función de ponderación, la suma se puede reemplazar por una integral de contorno que rodea el eje imaginario.
Como en la Fig. 1, la función de ponderación genera polos (cruces rojas) en el eje imaginario. La integral de contorno recoge el residuo de estos polos, lo que equivale a la suma.
Mediante la deformación de las curvas de nivel para encerrar los polos de g ( z ) (la cruz verde en la figura 2), la suma se puede lograr formalmente sumando el residuo de g ( z ) h η ( z ) sobre todos los polos de g ( z ),
Tenga en cuenta que se produce un signo menos, porque el contorno se deforma para encerrar los polos en el sentido de las agujas del reloj, lo que da como resultado el residuo negativo.
Elección de la función de ponderación de Matsubara
Para producir polos simples en frecuencias de bosones. , se puede elegir cualquiera de los dos tipos siguientes de funciones de ponderación de Matsubara
dependiendo del semiplano en el que se controle la convergencia. controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re z <0), mientras quecontrola la convergencia en el semiplano derecho (Re z > 0). Aquíes la función de distribución de Bose-Einstein .
El caso es similar para las frecuencias de fermiones. También hay dos tipos de funciones de ponderación de Matsubara que producen polos simples en
controla la convergencia en el semiplano izquierdo (Re z <0), mientras quecontrola la convergencia en el semiplano derecho (Re z > 0). Aquíes la función de distribución de Fermi-Dirac .
En la aplicación al cálculo de la función de Green, g ( z ) siempre tiene la estructura
que diverge en el semiplano izquierdo dado 0 < τ < β . Para controlar la convergencia, siempre se elige la función de ponderación del primer tipo. Sin embargo, no hay necesidad de controlar la convergencia si la suma de Matsubara no diverge, en ese caso, cualquier elección de la función de ponderación de Matsubara conducirá a resultados idénticos.
Tabla de sumas de frecuencia de Matsubara
La siguiente tabla contiene para algunas funciones racionales simples g ( z ). El símbolo η = ± 1 es el signo estadístico.
[1]
[1]
[2]
[2]
[1] Dado que la suma no converge, el resultado puede diferir según la elección diferente de la función de ponderación de Matsubara.
[2] (1 ↔ 2) denota la misma expresión que la anterior pero con los índices 1 y 2 intercambiados.
Aplicaciones en física
Límite de temperatura cero
En este limite , la suma de frecuencias de Matsubara es equivalente a la integración de la frecuencia imaginaria sobre el eje imaginario.
Algunas de las integrales no convergen. Deben regularizarse introduciendo el corte de frecuencia., y luego restar la parte divergente (-dependiente) de la integral antes de tomar el límite de . Por ejemplo, la energía libre se obtiene mediante la integral del logaritmo,
lo que significa que a temperatura cero, la energía libre simplemente se relaciona con la energía interna por debajo del potencial químico. Además, la función de distribución se obtiene mediante la siguiente integral
que muestra el comportamiento de la función escalonada a temperatura cero.
La función de Green relacionada
Dominio del tiempo
Considere una función G ( τ ) definida en el intervalo de tiempo imaginario (0, β ). Puede expresarse en términos de series de Fourier,
donde la frecuencia solo toma valores discretos espaciados por 2 π / β .
La elección particular de frecuencia depende de la condición de frontera de la función G ( τ ). En física, G ( τ ) representa la representación en el tiempo imaginario de la función de Green
Satisface la condición de frontera periódica G ( τ + β ) = G ( τ ) para un campo de bosones. Mientras que para un campo de fermiones la condición de frontera es anti-periódica G ( τ + β ) = - G ( τ ).
Dada la función de Green G ( iω ) en el dominio de la frecuencia, su representación de tiempo imaginaria G ( τ ) puede evaluarse mediante la suma de frecuencias de Matsubara. Dependiendo de las frecuencias de bosones o fermiones que se van a sumar, el G ( τ ) resultante puede ser diferente. Para distinguir, definir
con
Tenga en cuenta que τ está restringido en el intervalo principal (0, β ). La condición de frontera se puede utilizar para extender G ( τ ) fuera del intervalo principal. Algunos resultados utilizados con frecuencia se concluyen en la siguiente tabla.
Efecto de cambio de operador
El pequeño tiempo imaginario juega aquí un papel fundamental. El orden de los operadores cambiará si el pequeño tiempo imaginario cambia de signo.
Función de distribución
La evaluación de la función de distribución se vuelve complicada debido a la discontinuidad de la función de Green G ( τ ) en τ = 0. Para evaluar la suma
ambas opciones de la función de ponderación son aceptables, pero los resultados son diferentes. Esto se puede entender si empujamos G ( τ ) lejos de τ = 0 un poco, entonces para controlar la convergencia, debemos tomar como función de ponderación para , y por .
Bosones
Fermiones
Energía gratis
Bosones
Fermiones
Evaluaciones de diagramas
Los diagramas que se encuentran con frecuencia se evalúan aquí con la configuración de modo único. Los problemas de modos múltiples se pueden abordar mediante la integral de la función espectral.
Energía propia del fermión
Burbuja de orificios de partículas
Burbuja de partícula-partícula
Apéndice: Propiedades de las funciones de distribución
Funciones de distribución
La notación general representa la función de distribución de Bose ( η = +1) o Fermi ( η = −1)
Si es necesario, las notaciones específicas n B y n F se utilizan para indicar las funciones de distribución de Bose y Fermi respectivamente.
Relación con las funciones hiperbólicas
La función de distribución de Bose está relacionada con la función cotangente hiperbólica por
La función de distribución de Fermi está relacionada con la función tangente hiperbólica por
Paridad
Ambas funciones de distribución no tienen paridad definida,
Otra fórmula es en términos de función
Sin embargo, sus derivados tienen una paridad definida.
Transmutación de Bose-Fermi
Las funciones de distribución de Bose y Fermi se transmutan bajo un cambio de la variable por la frecuencia fermiónica,
Sin embargo, el cambio de frecuencias bosónicas no supone ninguna diferencia.
Derivados
Primer orden
En términos de producto:
En el límite de temperatura cero:
Segundo orden
Fórmula de diferencia
Caso a = 0
Caso a → 0
Caso b → 0
La función c η
Definición:
Para el tipo Bose y Fermi:
Relación con las funciones hiperbólicas
Eso es obvio es positivo definido.
Para evitar el desbordamiento en el cálculo numérico, se utilizan las funciones tanh y coth
^ A. Abrikosov , L. Gor'kov , I. Dzyaloshinskii : Métodos de teoría cuántica de campos en física estadística. , Nueva York, Dover Publ., 1975, ISBN 0-486-63228-8
^ [Piers Coleman]: Introducción a la física de muchos cuerpos. , Cambridge University Press., 2015, ISBN 978-0-521-86488-6