El tiempo imaginario es una representación matemática del tiempo que aparece en algunos enfoques de la relatividad especial y la mecánica cuántica . Encuentra usos en la conexión de la mecánica cuántica con la mecánica estadística y en ciertas teorías cosmológicas .
Matemáticamente, el tiempo imaginario es el tiempo real que ha sufrido una rotación de Wick de modo que sus coordenadas se multiplican por la unidad imaginaria i . El tiempo imaginario no es imaginario en el sentido de que sea irreal o inventado (como tampoco, digamos, los números irracionales desafían la lógica), simplemente se expresa en términos de lo que los matemáticos llaman números imaginarios .
Orígenes
Matemáticamente, tiempo imaginario se puede obtener en tiempo real a través de una rotación de Wick poren el plano complejo :, dónde Se define para ser , y se conoce como la unidad imaginaria.
Stephen Hawking popularizó el concepto de tiempo imaginario en su libro The Universe in a Nutshell .
Uno podría pensar que esto significa que los números imaginarios son solo un juego matemático que no tiene nada que ver con el mundo real. Sin embargo, desde el punto de vista de la filosofía positivista, no se puede determinar qué es real. Todo lo que se puede hacer es encontrar qué modelos matemáticos describen el universo en el que vivimos. Resulta que un modelo matemático que involucra el tiempo imaginario predice no solo los efectos que ya hemos observado, sino también los efectos que no hemos podido medir y, sin embargo, creemos en otros razones. Entonces, ¿qué es real y qué es imaginario? ¿Es la distinción solo en nuestras mentes?
De hecho, los nombres "real" e "imaginario" de los números son solo un accidente histórico, al igual que los nombres " racional " e " irracional ":
... las palabras real e imaginario son reliquias pintorescas de una época en la que no se entendía adecuadamente la naturaleza de los números complejos .
En cosmología
En el modelo del espacio-tiempo de Minkowski adoptado por la teoría de la relatividad , el espacio-tiempo se representa como una superficie o variedad de cuatro dimensiones. Su equivalente en cuatro dimensiones de una distancia en un espacio tridimensional se llama intervalo . Suponiendo que un período de tiempo específico se representa como un número real de la misma manera que una distancia en el espacio, un intervalo en el espacio-tiempo relativista viene dado por la fórmula habitual pero con el tiempo negado:
dónde , y son distancias a lo largo de cada eje espacial y es un período de tiempo o "distancia" a lo largo del eje del tiempo.
Matemáticamente esto es equivalente a escribir
En este contexto, puede aceptarse como una característica de la relación entre el espacio y el tiempo real, como se indicó anteriormente, o puede incorporarse alternativamente al tiempo mismo, de modo que el valor del tiempo sea en sí mismo un número imaginario , denotado por, y la ecuación reescrita en forma normalizada:
De manera similar, sus cuatro vectores pueden entonces escribirse como
donde las distancias se representan como , es la velocidad de la luz y.
En cosmología física , el tiempo imaginario puede incorporarse a ciertos modelos del universo que son soluciones a las ecuaciones de la relatividad general . En particular, el tiempo imaginario puede ayudar a suavizar las singularidades gravitacionales , donde se rompen las leyes físicas conocidas, para eliminar la singularidad y evitar tales rupturas (consulte el estado de Hartle-Hawking ). El Big Bang , por ejemplo, aparece como una singularidad en el tiempo ordinario pero, cuando se modela con el tiempo imaginario, la singularidad se puede eliminar y el Big Bang funciona como cualquier otro punto en el espacio - tiempo de cuatro dimensiones . Cualquier límite al espacio-tiempo es una forma de singularidad, donde la naturaleza suave del espacio-tiempo se rompe. [3] Con todas esas singularidades eliminadas del Universo, por lo tanto, no puede tener límite y Stephen Hawking ha especulado que "la condición de límite para el Universo es que no tiene límite". [4]
Sin embargo, la naturaleza no probada de la relación entre el tiempo físico real y el tiempo imaginario incorporada en tales modelos ha generado críticas. [5] Penrose ha señalado que debe haber una transición de la métrica de Riemann (a menudo denominada "euclidiana" en este contexto) con tiempo imaginario en el Big Bang a una métrica de Lorenzian con tiempo real para el Universo en evolución. Además, las observaciones modernas sugieren que el Universo está abierto y nunca se reducirá a un Big Crunch. Si esto resulta cierto, entonces el límite del fin de los tiempos aún permanece. [3]
En mecánica estadística cuántica
Las ecuaciones del campo cuántico se pueden obtener tomando la transformada de Fourier de las ecuaciones de la mecánica estadística. Dado que la transformada de Fourier de una función suele aparecer como su inversa, las partículas puntuales de la mecánica estadística se convierten, bajo una transformada de Fourier, en los osciladores armónicos infinitamente extendidos de la teoría cuántica de campos. [6] La función de Green de un operador diferencial lineal no homogéneo, definido en un dominio con condiciones iniciales o condiciones de contorno especificadas, es su respuesta al impulso, y matemáticamente definimos las partículas puntuales de la mecánica estadística como funciones delta de Dirac, es decir, impulsos. . [7] A temperatura finita, las funciones de Green son periódicas en el tiempo imaginario con un período de. Por lo tanto, sus transformadas de Fourier contienen solo un conjunto discreto de frecuencias llamadas frecuencias de Matsubara .
La conexión entre la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos también se ve en la amplitud de transición. entre un estado inicial I y un estado final F , donde H es el hamiltoniano de ese sistema. Si comparamos esto con la función de particiónvemos que para obtener la función de partición de las amplitudes de transición podemos reemplazar, establezca F = I = n y sume sobre n . De esta forma no tenemos que hacer el doble de trabajo evaluando tanto las propiedades estadísticas como las amplitudes de transición.
Finalmente, mediante el uso de una rotación de Wick, se puede demostrar que la teoría del campo cuántico euclidiano en el espacio-tiempo ( D + 1) -dimensional no es más que mecánica estadística cuántica en el espacio D -dimensional.
Ver también
- Gravedad cuántica euclidiana
- Varias dimensiones de tiempo
Referencias
Notas
- ^ Hawking (2001), p.59.
- ^ Coxeter, HSM; El plano proyectivo real, tercera edición, Springer 1993, p. 210 (nota a pie de página).
- ^ a b Roger Penrose. El camino a la realidad . Clásico. 2005. págs. 769-772.
- ^ Hawking 2001, p.85.
- ^ Robert J. Deltete y Reed A. Guy; "Emergiendo del tiempo imaginario", Synthese , vol. 108, núm. 2 (agosto de 1996), págs. 185-203.
- ^ Uwe-Jens Wiese, "Quantum Field Theory" , Instituto de Física Teórica, Universidad de Berna, 21 de agosto de 2007, página 63.
- ^ Andy Royston; "Notes on the Dirac Delta and Green Functions" , 23 de noviembre de 2008.
Bibliografía
- Hawking, Stephen W. (1998). Una breve historia del tiempo (edición conmemorativa del décimo aniversario). Libros Bantam. pag. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
- Hawking, Stephen W. (2001). El universo en pocas palabras . Estados Unidos y Canadá: Bantam Books. págs. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 0-553-80202-X.
Otras lecturas
- Gerald D. Mahan. Física de muchas partículas, capítulo 3
- A. Teoría de campos cuántica de Zee en pocas palabras, Capítulo V.2
enlaces externos
- The Beginning of Time - Conferencia de Stephen Hawking que analiza el tiempo imaginario.
- Stephen Hawking's Universe: Strange Stuff Explained - Sitio de PBS sobre el tiempo imaginario.