En la teoría de la escala (música) , un conjunto (escala) máximamente uniforme es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos enteros consecutivos, intervalos específicos; en otras palabras, una escala cuyas notas (pcs) están "extendidas tanto como sea posible". " Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett. [1] Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo de máxima uniformidad. Para una cromática cardinalidad c y PC-set cardinalidad d un máximo incluso SET es
donde k varía de 0 ad - 1 ym , 0 ≤ m ≤ c - 1 es fijo y el par de paréntesis es la función de piso . Se puede encontrar una discusión sobre estos conceptos en el libro de Timothy Johnson sobre los fundamentos matemáticos de la teoría de la escala diatónica. [2] Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron conjuntos de máxima uniformidad en la literatura matemática. [3] [4]
Se dice que una escala tiene la propiedad de Myhill si cada intervalo genérico viene en dos tamaños de intervalo específicos , y se dice que una escala con la propiedad de Myhill es una escala bien formada . [5] La colección diatónica es a la vez una escala bien formada y es máximamente uniforme. La escala de tonos completos también es máximamente uniforme, pero no está bien formada, ya que cada intervalo genérico tiene un solo tamaño.
La uniformidad máxima de segundo orden es la uniformidad máxima de una subcolección de una colección más grande que es máximamente uniforme. Las tríadas diatónicas y los acordes de séptima poseen una uniformidad máxima de segundo orden, siendo máximamente uniformes con respecto a la escala diatónica máxima uniforme, pero no son máximamente uniformes con respecto a la escala cromática. (ibid, p.115) Esta calidad anidada se asemeja a Fred Lerdahl 's [6] 'formato reduccional' para el espacio de paso de la parte inferior hacia arriba:
C | mi | GRAMO | C | |||||||||
C | D | mi | F | GRAMO | A | B | C | |||||
C | D ♭ | D | E ♭ | mi | F | F♯ | GRAMO | A ♭ | A | B ♭ | B | C |
- (Lerdahl, 1992)
En un enfoque dinámico , se han construido círculos concéntricos giratorios y conjuntos iterados al máximo. Este enfoque tiene implicaciones en la teoría neo-riemanneana y conduce a algunas conexiones interesantes entre la teoría diatónica y cromática . [7] Emmanuel Amiot ha descubierto otra forma de definir conjuntos de máxima uniformidad mediante el empleo de transformadas discretas de Fourier . [8] [9]
Carey, Norman y Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas", Music Theory Spectrum 11: 187-206.
Referencias
- ^ Clough, John; Douthett, Jack (1991). "Conjuntos máximamente uniformes". Revista de teoría musical (35): 93-173.
- ^ Johnson, Timothy (2003). Fundamentos de la teoría diatónica: un enfoque matemático de los fundamentos musicales . Publicaciones universitarias clave. ISBN 1-930190-80-8.
- ^ Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Conjuntos y configuraciones de máxima uniformidad: hilos comunes en matemáticas, física y música". Revista de optimización combinatoria . 14 : 385-410.
- ^ Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Mesas de cena y círculos concéntricos: una armonía de matemáticas, música y física". Revista universitaria de matemáticas . 39 (3): 203-211.
- ^ Carey, Norman; Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas". Espectro de teoría musical . 11 : 187-206.
- ^ Lerdahl, Fred (1992). "Restricciones cognitivas en sistemas composicionales". Revista de Música Contemporánea . 6 (2): 97-121.
- ^ Douthett, Jack (2008). "Filtro de simetría de puntos y conducción de voz dinámica". Música y matemáticas: acordes, colecciones y transformaciones . Estudios Eastman en Música: 72-106. Ed. J. Douthett, M. Hyde y C. Smith. University of Rochester Press, Nueva York.ISBN 1-58046-266-9 .
- ^ Armiot, Emmanuel (2007). "David Lewin y conjuntos de máxima uniformidad". Revista de Matemáticas y Música . 1 (3): 157-172.
- ^ Armiot, Emmanuel (2016). Música a través del espacio de Fourier: Transformada discreta de Fourier en la teoría musical . Saltador. ISBN 9783319455808.