Orden (teoría del anillo)

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En matemáticas , un orden en el sentido de la teoría de anillos es un subanillo de un anillo , tal que${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ Displaystyle A}$

Las dos últimas condiciones pueden expresarse en términos menos formales: Aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para over .${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

De manera más general, para un dominio integral contenido en un campo , definimos que es un -orden en un -álgebra si es un subanillo del cual es una retícula completa . ^[1]${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle R}$

Cuando no es un anillo conmutativo , la idea de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son los cuaterniones con coordenadas enteras en el sentido más obvio. Los órdenes máximos existen en general, pero no tienen por qué ser únicos: en general, no hay un orden mayor, sino una serie de órdenes máximas. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupos integrales .${\ Displaystyle A}$

Una propiedad fundamental de los -orders es que cada elemento de un -order es integral sobre . ^[3]${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

Si el cierre integral de en es un -orden, entonces este resultado muestra que debe ser el ^{[ aclaración necesaria ]} máximo -orden en . Sin embargo, esta hipótesis no siempre se satisface: de hecho, ni siquiera es necesario que sea un anillo, e incluso si es un anillo (por ejemplo, cuando es conmutativo), entonces no es necesario que sea una rejilla. ^[3]${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$

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