Principio de módulo máximo

En matemáticas , el principio del módulo máximo en el análisis complejo establece que si f es una función holomórfica , entonces el módulo | f | no puede exhibir un máximo local estricto que esté propiamente dentro del dominio de f .

En otras palabras, f es localmente una función constante o, para cualquier punto z ₀ dentro del dominio de f , existen otros puntos arbitrariamente cercanos a z ₀ en los que | f | toma valores mayores.

Sea f una función holomórfica en algún subconjunto abierto conectado D del plano complejo ℂ y tomando valores complejos. Si z ₀ es un punto en D tal que

Esta afirmación puede verse como un caso especial del teorema de mapeo abierto , que establece que una función holomórfica no constante mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos: If | f | alcanza un máximo local en z , entonces la imagen de una vecindad abierta suficientemente pequeña de z no puede ser abierta, entonces f es constante.

Suponga que es un subconjunto abierto no vacío acotado de . Sea el cierre de . Suponga que es una función continua holomórfica en . Luego alcanza un máximo en algún punto del límite de .${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ overline {D}}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle f \ colon {\ overline {D}} \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle | f (z) |}$${\ Displaystyle D}$

Esto se desprende de la primera versión de la siguiente manera. Como es compacta y no vacía, la función continua alcanza un máximo en algún punto de . Si no está en el límite, entonces el principio de módulo máximo implica que es constante, por lo que también alcanza el mismo máximo en cualquier punto del límite.${\ Displaystyle {\ overline {D}}}$${\ Displaystyle | f (z) |}$${\ Displaystyle z_ {0}}$${\ Displaystyle {\ overline {D}}}$${\ Displaystyle z_ {0}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle | f (z) |}$

Una gráfica del módulo de cos ( z ) (en rojo) para z en el disco unitario centrado en el origen (mostrado en azul). Como predice el teorema, el máximo del módulo no puede estar dentro del disco (por lo que el valor más alto en la superficie roja está en algún lugar a lo largo de su borde).