Dejar ser cualquier variable aleatoria con . Suponeres una filtración , es decir Cuándo . Definir
luego es una martingala , [2] a saber, Doob martingala , con respecto a la filtración.
Para ver esto, tenga en cuenta que
- ;
- como .
En particular, para cualquier secuencia de variables aleatorias en el espacio de probabilidad y función tal que , uno podría elegir
y filtración tal que
es decir -álgebra generada por . Entonces, por definición de Doob martingale, proceso dónde
forma una martingala Doob. Tenga en cuenta que. Esta martingala se puede utilizar para probar la desigualdad de McDiarmid .
Declaración [1]
Considere variables aleatorias independientes en el espacio de probabilidad dónde para todos y un mapeo . Suponga que existen constantes tal que para todos ,
(En otras palabras, cambiar el valor de la th coordenada cambia el valor de por como máximo .) Entonces, para cualquier ,
y
Prueba
Elija cualquiera tal que el valor de está acotado, entonces, para cualquier , por desigualdad triangular ,
por lo tanto está ligado.
Definir para todos y . Tenga en cuenta que. Desde está limitado, por la definición de Doob martingala, forma una martingala. Ahora define
Tenga en cuenta que y son ambos - medible . Además,
donde la tercera igualdad se mantiene debido a la independencia de . Luego, aplicando la forma general de la desigualdad de Azuma a, tenemos
La cota unilateral de la otra dirección se obtiene aplicando la desigualdad de Azuma a y el límite de dos caras se sigue del límite de unión .