Problema de McMullen

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Para cuántos puntos es siempre posible transformar proyectivamente los puntos en posición convexa?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

El problema de McMullen es un problema abierto en geometría discreta que lleva el nombre de Peter McMullen .

Declaración

En 1972, David G. Larman escribió sobre el siguiente problema: ^[1]

Determine el número más grande de modo que para cualquier punto dado en la posición general en el espacio afín -dimensional haya una transformación proyectiva que mapee estos puntos en una posición convexa (de modo que formen los vértices de un politopo convexo ).${\displaystyle \nu (d)}$${\displaystyle \nu (d)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Larman atribuyó el problema a una comunicación privada de Peter McMullen.

Formulaciones equivalentes

Transformación de vendaval

Usando la transformada de Gale , este problema se puede reformular como:

Determine el número más pequeño de manera que para cada conjunto de puntos en posición linealmente general en la esfera sea ​​posible elegir un conjunto donde para , de modo que cada hemisferio abierto de contenga al menos dos miembros de .${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\mu (d)}\}}$${\displaystyle S^{d-1}}$${\displaystyle Y=\{\varepsilon _{1}x_{1},\varepsilon _{2}x_{2},\dots ,\varepsilon _{\mu (d)}x_{\mu (d)}\}}$${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,\mu (d)}$${\displaystyle S^{d-1}}$${\displaystyle Y}$

Los números de la formulación original del problema de McMullen y de la formulación de la transformada de Gale están conectados por las relaciones${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (k)&=\min\{w\mid w\leq \nu (w-k-1)\}\\\nu (d)&=\max\{w\mid w\geq \mu (w-d-1)\}\end{aligned}}}$$

Partición en cascos casi disjuntos

Además, por simple observación geométrica, se puede reformular como:

Determine el número más pequeño tal que para cada conjunto de puntos exista una partición de en dos conjuntos y con${\displaystyle \lambda (d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \lambda (d)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \operatorname {conv} (A\backslash \{x\})\cap \operatorname {conv} (B\backslash \{x\})\not =\varnothing ,\forall x\in X.\,}$$

La relación entre y es${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$

$${\displaystyle \mu (d+1)=\lambda (d),\qquad d\geq 1\,}$$

Dualidad proyectiva

Una disposición de líneas duales al pentágono regular. Cada arreglo proyectivo de cinco líneas, como este, tiene una celda tocada por las cinco líneas. Sin embargo, agregar la línea en el infinito produce una disposición de seis líneas con seis caras de pentágono y diez caras de triángulo; ninguna cara es tocada por todas las líneas. Por lo tanto, la solución al problema de McMullen para d  = 2 es ν  = 5.

El enunciado dual proyectivo equivalente al problema de McMullen es determinar el número más grande de modo que cada conjunto de hiperplanos en posición general en el espacio proyectivo real d- dimensional forme una disposición de hiperplanos en la que una de las células está delimitada por todos los hiperplanos.${\displaystyle \nu (d)}$${\displaystyle \nu (d)}$

Resultados

Este problema sigue abierto. Sin embargo, los límites de están en los siguientes resultados:${\displaystyle \nu (d)}$

• David Larman demostró en 1972 que ^[1]
  $${\displaystyle 2d+1\leq \nu (d)\leq (d+1)^{2}.}$$
• Michel Las Vergnas demostró en 1986 que ^[2]
  $${\displaystyle \nu (d)\leq {\frac {(d+1)(d+2)}{2}}.}$$
• Jorge Luis Ramírez Alfonsín demostró en 2001 que ^[3]
  $${\displaystyle \nu (d)\leq 2d+\left\lceil {\frac {d+1}{2}}\right\rceil .}$$

La conjetura de este problema es la siguiente . Esto ha sido probado . ^{[1] [4]}${\displaystyle \nu (d)=2d+1}$${\displaystyle d=2,3,4}$

Referencias

1. Larman, DG (1972), "En conjuntos proyectivamente equivalentes a los vértices de un politopo convexo", The Bulletin of the London Mathematical Society , 4 : 6-12, doi : 10.1112 / blms / 4.1.6 , MR  0307040
2. Las Vergnas, Michel (1986), "Rutas de Hamilton en torneos y un problema de McMullen sobre transformaciones proyectivas en ", The Bulletin of the London Mathematical Society , 18 (6): 571–572, doi : 10.1112 / blms / 18.6. 571 , MR 0859948${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ 
3. Ramírez Alfonsín, JL (2001), "Matroides orientados por Lawrence y un problema de McMullen sobre equivalencias proyectivas de politopos", European Journal of Combinatorics , 22 (5): 723–731, doi : 10.1006 / eujc.2000.0492 , MR 1845496 
4. Forja, David; Las Vergnas, Michel ; Schuchert, Peter (2001), "10 puntos en la dimensión 4 no proyectivamente equivalentes a los vértices de un politopo convexo", geometrías combinatorias (Luminy, 1999), European Journal of Combinatorics , 22 (5): 705-708, doi : 10.1006 /eujc.2000.0490 , MR 1845494