En geometría y combinatoria , una disposición de hiperplanos es una disposición de un conjunto finito A de hiperplanos en un espacio S lineal , afín o proyectivo . Las preguntas sobre una disposición de hiperplanos A generalmente se refieren a propiedades geométricas, topológicas o de otro tipo del complemento , M ( A ), que es el conjunto que queda cuando los hiperplanos se eliminan de todo el espacio. Cabe preguntarse cómo se relacionan estas propiedades con la disposición y su semirreticulado de intersección. Lasemirretículo de intersección de A , escrito L ( A ), es el conjunto de todos los subespacios que se obtienen al intersecar algunos de los hiperplanos; entre estos subespacios se encuentra el propio S , todos los hiperplanos individuales, todas las intersecciones de pares de hiperplanos, etc. (excluyendo, en el caso afín, el conjunto vacío). Estos subespacios de intersección de A también se llaman los pisos de A . La semirrejilla de intersección L ( A ) está parcialmente ordenada por inclusión inversa .
Si todo el espacio S es bidimensional, los hiperplanos son líneas ; tal disposición a menudo se denomina disposición de líneas . Históricamente, los arreglos reales de líneas fueron los primeros arreglos investigados. Si S es tridimensional, uno tiene una disposición de planos .
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Teoría general
La intersección semirred y la matroide
La semirrejilla de intersección L ( A ) es una semirrejilla de encuentro y, más específicamente, es una semirrejilla geométrica . Si la disposición es lineal o proyectiva, o si la intersección de todos los hiperplanos no está vacía, la celosía de intersección es una celosía geométrica . (Esta es la razón por la que la semirrejilla debe ordenarse por inclusión inversa, en lugar de por inclusión, que podría parecer más natural pero no produciría una (semi) rejilla geométrica).
Cuando L ( A ) es una celosía, la matroide de A , escrita M ( A ), tiene A como su conjunto básico y tiene la función de rango r ( S ): = codim ( I ), donde S es cualquier subconjunto de A e I es la intersección de los hiperplanos en S . En general, cuando L ( A ) es una semirrejilla, hay una estructura análoga similar a una matroide llamada semimatroide , que es una generalización de una matroide (y tiene la misma relación con la semirrejilla de intersección que la matroide con la rejilla en la celosía), pero no es una matroide si L ( A ) no es una celosía.
Polinomios
Para un subconjunto B de A , definamos f ( B ): = la intersección de los hiperplanos en B ; esto es S si B está vacío. El polinomio característico de A , escrito p A ( y ), se puede definir por
sumados sobre todos los subconjuntos B de A excepto, en el caso afín, los subconjuntos cuya intersección está vacía. (La dimensión del conjunto vacío se define como -1.) Este polinomio ayuda a resolver algunas preguntas básicas; vea abajo. Otro polinomio asociado con A es el polinomio de números de Whitney w A ( x , y ), definido por
sumado sobre B ⊆ C ⊆ A tal que f ( B ) no está vacío.
Al ser una celosía geométrica o semirreticular, L ( A ) tiene un polinomio característico, p L ( A ) ( y ), que tiene una teoría extensa (ver matroide ). Por lo tanto, es bueno saber que p A ( y ) = y i p L ( A ) ( y ), donde i es la dimensión más pequeña de cualquier piso, excepto que en el caso proyectivo es igual a y i + 1 p L ( A ) ( y ). El polinomio de números de Whitney de A está relacionado de manera similar con el de L ( A ). (El conjunto vacío se excluye de la semirrejilla en el caso afín específicamente para que estas relaciones sean válidas).
El álgebra de Orlik-Salomón
La semirreticulación de intersección determina otro invariante combinatorio de la disposición, el álgebra de Orlik-Solomon . Para definirlo, fije un subanillo conmutativo K del campo base y forme el álgebra exterior E del espacio vectorial
generado por los hiperplanos. Una estructura compleja de cadena se define en E con el operador de límite habitual. El álgebra de Orlik-Solomon es entonces el cociente de E por el ideal generado por elementos de la forma para cual tienen intersección vacía, y por límites de elementos de la misma forma para los cuales tiene codimensión menor que p .
Arreglos reales
En el espacio afín real , el complemento está desconectado: está formado por piezas separadas llamadas células o regiones o cámaras , cada una de las cuales es una región acotada que es un politopo convexo o una región no acotada que es una región poliédrica convexa que va hacia el infinito. Cada plano de A también está dividido en pedazos por los hiperplanos que no contienen el plano; estas piezas se llaman las caras de A . Las regiones son caras porque todo el espacio es plano. Las caras de codimensión 1 pueden ser llamados las facetas de A . La semirrejilla de caras de un arreglo es el conjunto de todas las caras, ordenadas por inclusión . Agregar un elemento superior adicional a la semirrejilla de la cara le da a la rejilla de la cara .
En dos dimensiones (es decir, en el plano afín real ) cada región es un polígono convexo (si está acotado) o una región poligonal convexa que se va al infinito.
- Por ejemplo, si la disposición consta de tres líneas paralelas, la semirrejilla de intersección consta del plano y las tres líneas, pero no del conjunto vacío. Hay cuatro regiones, ninguna de ellas delimitada.
- Si agregamos una línea que cruza los tres paralelos, entonces la semirrejilla de intersección consta del plano, las cuatro líneas y los tres puntos de intersección. Hay ocho regiones, todavía ninguna delimitada.
- Si agregamos una línea más, paralela a la última, entonces hay 12 regiones, de las cuales dos son paralelogramos acotados .
Los problemas típicos de una disposición en el espacio real n- dimensional son el de decir cuántas regiones hay, cuántas caras de dimensión 4 o cuántas regiones delimitadas. Estas preguntas se pueden responder solo desde la semirrejilla de la intersección. Por ejemplo, dos teoremas básicos, de Zaslavsky (1975), son que el número de regiones de un arreglo afín es igual a (-1) n p A (-1) y el número de regiones acotadas es igual a (-1) n p A ( 1). De manera similar, el número de caras k- dimensionales o caras acotadas se puede leer como el coeficiente de x n - k en (−1) n w A (- x , −1) o (−1) n w A (- x , 1).
Meiser (1993) diseñó un algoritmo rápido para determinar la cara de una disposición de hiperplanos que contienen un punto de entrada.
Otra cuestión sobre una disposición en el espacio real es decidir cuántas regiones son simples (la generalización n- dimensional de triángulos y tetraedros ). Esto no se puede responder basándose únicamente en la semirrejilla de la intersección. El problema de McMullen pide la disposición más pequeña de una dimensión dada en posición general en el espacio proyectivo real para el que no existe una célula tocada por todos los hiperplanos.
Un arreglo lineal real tiene, además de su semirreticulado frontal, un conjunto de regiones , una diferente para cada región. Este poset está formado por la elección de una región de base arbitraria, B 0 , y asociar con cada región R el conjunto S ( R ) que consta de los hiperplanos que separada R de B . Las regiones están parcialmente ordenadas de modo que R 1 ≥ R 2 si S ( R 1 , R ) contiene S ( R 2 , R ). En el caso especial en el que los hiperplanos surgen de un sistema de raíces , el poset resultante es el grupo Weyl correspondiente con el orden de Bruhat débil. En general, el conjunto de regiones se clasifica según el número de hiperplanos que se separan y se ha calculado su función de Möbius ( Edelman 1984 ).
Vadim Schechtman y Alexander Varchenko introdujeron una matriz indexada por regiones. El elemento de la matriz para la región y viene dado por el producto de variables indeterminadas para cada hiperplano H que separa estas dos regiones. Si estas variables están especializadas para ser todas de valor q, entonces esto se llama matriz q (sobre el dominio euclidiano) para el arreglo y mucha información está contenida en su forma normal de Smith .
Arreglos complejos
En el espacio afín complejo (que es difícil de visualizar porque incluso el plano afín complejo tiene cuatro dimensiones reales), el complemento está conectado (todo de una sola pieza) con agujeros donde se eliminaron los hiperplanos.
Un problema típico de una disposición en un espacio complejo es describir los agujeros.
El teorema básico sobre arreglos complejos es que la cohomología del complemento M ( A ) está completamente determinada por la semirreticulación de intersección. Para ser precisos, el anillo de cohomología de M ( A ) (con coeficientes enteros) es isomorfo al álgebra Orlik-Solomon en Z .
El isomorfismo se puede describir explícitamente y ofrece una presentación de la cohomología en términos de generadores y relaciones, donde los generadores se representan (en la cohomología de De Rham ) como formas diferenciales logarítmicas.
con cualquier forma lineal que defina el hiperplano genérico de la disposición.
Tecnicismos
A veces es conveniente permitir que el hiperplano degenerado , que es todo el espacio S , pertenezca a un arreglo. Si A contiene el hiperplano degenerado, entonces no tiene regiones porque el complemento está vacío. Sin embargo, todavía tiene pisos, semirreticulado de intersección y caras. La discusión anterior asume que el hiperplano degenerado no está en la disposición.
A veces uno quiere permitir hiperplanos repetidos en la disposición. No consideramos esta posibilidad en la discusión anterior, pero no hace ninguna diferencia material.
Ver también
Referencias
- "Disposición de hiperplanos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Edelman, Paul H. (1984), "Un orden parcial en las regiones de diseccionado por hiperplanos ", Transactions of the American Mathematical Society , 283 (2): 617–631, doi : 10.2307 / 1999150 , JSTOR 1999150 , MR 0737888.
- Meiser, Stefan (1993), "Ubicación de puntos en arreglos de hiperplanos", Información y Computación , 106 (2): 286–303, doi : 10.1006 / inco.1993.1057 , MR 1241314.
- Orlik, Peter ; Terao, Hiroaki (1992), Arreglos de hiperplanos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 300 , Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-02772-1 , MR 1217488.
- Stanley, Richard (2011). "3.11 Arreglos de hiperplanos". Combinatoria enumerativa . 1 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 1107602629.
- Zaslavsky, Thomas (1975), "Haciendo frente a los arreglos: fórmulas de conteo de rostros para particiones del espacio por hiperplanos", Memorias de la American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society (154), doi : 10.1090 / memo / 0154 , MR 0357135.