Los métodos de partículas de campo medio son una amplia clase de algoritmos de Monte Carlo de tipo interactivo para simular a partir de una secuencia de distribuciones de probabilidad que satisfacen una ecuación de evolución no lineal. [1] [2] [3] [4] Estos flujos de medidas de probabilidad siempre se pueden interpretar como las distribuciones de los estados aleatorios de un proceso de Markov cuyas probabilidades de transición dependen de las distribuciones de los estados aleatorios actuales. [1] [2] Una forma natural de simular estos sofisticados procesos de Markov no lineales es muestrear una gran cantidad de copias del proceso, reemplazando en la ecuación de evolución las distribuciones desconocidas de los estados aleatorios por las medidas empíricas muestreadas. En contraste con los métodos tradicionales de Monte Carlo y Monte Carlo de cadena de Markov , estas técnicas de partículas de campo medio se basan en muestras interactivas secuenciales . La terminología de campo medio refleja el hecho de que cada una de las muestras (también conocidas como partículas, individuos, caminantes, agentes, criaturas o fenotipos) interactúa con las medidas empíricas del proceso. Cuando el tamaño del sistema tiende a infinito, estas medidas empíricas aleatorias convergen a la distribución determinista de los estados aleatorios de la cadena de Markov no lineal, de modo que la interacción estadística entre partículas desaparece. En otras palabras, comenzando con una configuración caótica basada en copias independientes del estado inicial del modelo de cadena de Markov no lineal, el caos se propaga en cualquier horizonte de tiempo a medida que el tamaño del sistema tiende a infinito; es decir, los bloques finitos de partículas se reducen a copias independientes del proceso de Markov no lineal. Este resultado se denomina propiedad de propagación del caos. [5] [6] [7] La terminología "propagación del caos" se originó con el trabajo de Mark Kac en 1976 sobre un modelo de gas cinético de campo medio en colisión. [8]
Historia
La teoría de los modelos de partículas interactuantes de campo medio ciertamente había comenzado a mediados de la década de 1960, con el trabajo de Henry P. McKean Jr. sobre las interpretaciones de Markov de una clase de ecuaciones diferenciales parciales parabólicas no lineales que surgen en la mecánica de fluidos. [5] [9] Los fundamentos matemáticos de estas clases de modelos fueron desarrollados desde mediados de los 80 hasta mediados de los 90 por varios matemáticos, incluidos Werner Braun, Klaus Hepp, [10] Karl Oelschläger, [11] [12] [ 13] Gérard Ben Arous y Marc Brunaud, [14] Donald Dawson, Jean Vaillancourt [15] y Jürgen Gärtner, [16] [17] Christian Léonard, [18] Sylvie Méléard , Sylvie Roelly, [6] Alain-Sol Sznitman [ 7] [19] e Hiroshi Tanaka [20] para modelos de difusión; F. Alberto Grünbaum, [21] Tokuzo Shiga, Hiroshi Tanaka, [22] Sylvie Méléard y Carl Graham [23] [24] [25] para clases generales de procesos interactivos de difusión de salto.
También citamos un artículo pionero anterior de Theodore E. Harris y Herman Kahn, publicado en 1951, que utiliza métodos genéticos de campo medio pero de tipo heurístico para estimar las energías de transmisión de partículas. [26] Los métodos de partículas de tipo genético de campo medio también se utilizan como algoritmos heurísticos de búsqueda natural (también conocidos como metaheurísticos ) en la computación evolutiva. Los orígenes de estas técnicas computacionales de campo medio se remontan a 1950 y 1954 con el trabajo de Alan Turing sobre máquinas de aprendizaje de selección de mutaciones de tipo genético [27] y los artículos de Nils Aall Barricelli en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, Nueva York. Jersey . [28] [29] El genetista australiano Alex Fraser también publicó en 1957 una serie de artículos sobre la simulación del tipo genético de la selección artificial de organismos. [30]
Quantum Monte Carlo y, más específicamente, los métodos de Difusión Monte Carlo también se pueden interpretar como una aproximación de partículas de campo medio de las integrales de trayectoria de Feynman-Kac. [3] [4] [31] [32] [33] [34] [35] Los orígenes de los métodos Quantum Monte Carlo a menudo se atribuyen a Enrico Fermi y Robert Richtmyer, quienes desarrollaron en 1948 una interpretación de partículas de campo medio de la cadena de neutrones reacciones, [36] pero el primer algoritmo de partículas de tipo heurístico y genético (también conocido como métodos de Monte Carlo de reconfiguración o remuestreo) para estimar las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos (en modelos de matriz reducida) se debe a Jack H. Hetherington en 1984 [35 ] En química molecular, el uso de métodos genéticos de partículas similares a la heurística (también conocidos como estrategias de poda y enriquecimiento) se remonta a 1955 con el trabajo fundamental de Marshall. N. Rosenbluth y Arianna. W. Rosenbluth. [37]
Los primeros artículos pioneros sobre las aplicaciones de estos métodos de partículas de tipo heurístico en problemas de filtrado no lineal fueron los estudios independientes de Neil Gordon, David Salmon y Adrian Smith (filtro bootstrap), [38] Genshiro Kitagawa (filtro Monte Carlo), [39] y el de Himilcon Carvalho, Pierre Del Moral, André Monin y Gérard Salut [40] publicado en los años noventa. El término "filtros de partículas" que interactúan fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral. [41] Los filtros de partículas también fueron desarrollados en el procesamiento de señales a principios de 1989-1992 por P. Del Moral, JC Noyer, G. Rigal y G. Salut en LAAS-CNRS en una serie de informes de investigación restringidos y clasificados con STCAN. (Service Technique des Constructions et Armes Navales), la empresa de TI DIGILOG y el LAAS-CNRS (Laboratorio de Análisis y Arquitectura de Sistemas) sobre problemas de procesamiento de señales RADAR / SONAR y GPS. [42] [43] [44] [45] [46] [47]
Los fundamentos y el primer análisis riguroso sobre la convergencia de los modelos de tipo genético y los métodos de partículas Feynman-Kac de campo medio se deben a Pierre Del Moral [48] [49] en 1996. Los métodos de partículas de tipo ramificado con diferentes tamaños de población también se desarrollaron en el finales de la década de 1990 por Dan Crisan, Jessica Gaines y Terry Lyons, [50] [51] [52] y por Dan Crisan, Pierre Del Moral y Terry Lyons. [53] Los primeros resultados de convergencia uniforme con respecto al parámetro de tiempo para modelos de partículas de campo medio fueron desarrollados a finales de la década de 1990 por Pierre Del Moral y Alice Guionnet [54] [55] para procesos interactivos de tipo salto, y por Florent Malrieu para procesos de difusión no lineal. [56]
Las nuevas clases de técnicas de simulación de partículas de campo medio para problemas de integración de ruta de Feynman-Kac incluyen modelos basados en árboles genealógicos, [2] [3] [57] modelos de partículas hacia atrás, [2] [58] modelos adaptativos de partículas de campo medio, [59] modelos de partículas tipo isla, [60] [61] y métodos de Monte Carlo de la cadena de Markov de partículas [62] [63]
Aplicaciones
En física , y más particularmente en mecánica estadística , estas ecuaciones de evolución no lineal se utilizan a menudo para describir el comportamiento estadístico de partículas microscópicas que interactúan en un fluido o en alguna materia condensada. En este contexto, la evolución aleatoria de un fluido virtual o una partícula de gas está representada por procesos de difusión de McKean-Vlasov , sistemas de reacción-difusión o procesos de colisión tipo Boltzmann . [11] [12] [13] [25] [64] Como su nombre indica, el modelo de partículas de campo medio representa el comportamiento colectivo de partículas microscópicas que interactúan débilmente con sus medidas de ocupación. El comportamiento macroscópico de estos sistemas de partículas de muchos cuerpos está encapsulado en el modelo limitante obtenido cuando el tamaño de la población tiende al infinito. Las ecuaciones de Boltzmann representan la evolución macroscópica de partículas en colisión en gases enrarecidos, mientras que las difusiones de McKean Vlasov representan el comportamiento macroscópico de partículas fluidas y gases granulares.
En física computacional y más específicamente en mecánica cuántica , las energías del estado fundamental de los sistemas cuánticos están asociadas con la parte superior del espectro de los operadores de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger es la versión de la mecánica cuántica de la segunda ley de movimiento de Newton de la mecánica clásica (la masa multiplicada por la aceleración es la suma de las fuerzas). Esta ecuación representa la evolución de la función de onda (también conocida como estado cuántico) de algún sistema físico, incluidos los sistemas moleculares, atómicos o subatómicos, así como los sistemas macroscópicos como el universo. [65] La solución de la ecuación de Schrödinger en el tiempo imaginario (también conocida como la ecuación del calor) está dada por una distribución de Feynman-Kac asociada con un proceso de Markov de evolución libre (a menudo representado por movimientos brownianos) en el conjunto de configuraciones electrónicas o macromoleculares y algunos función energética. El comportamiento a largo plazo de estos semigrupos no lineales está relacionado con los valores propios máximos y las energías del estado fundamental de los operadores de Schrödinger. [3] [32] [33] [34] [35] [66] La interpretación del campo medio de tipo genético de estos modelos de Feynman-Kac se denominan métodos de Resample Monte Carlo o Diffusion Monte Carlo. Estos algoritmos evolutivos de tipo ramificado se basan en transiciones de mutación y selección. Durante la transición de la mutación, los caminantes evolucionan de forma aleatoria e independiente en un paisaje de energía potencial en configuraciones de partículas. El proceso de selección de campo medio (también conocido como teletransportación cuántica, reconfiguración de la población, transición remuestreada) está asociado con una función de aptitud que refleja la absorción de partículas en un pozo de energía. Es más probable que se dupliquen las configuraciones con baja energía relativa. En química molecular y física estadística, los métodos de partículas de campo medio también se utilizan para muestrear medidas de Boltzmann-Gibbs asociadas con algún programa de enfriamiento y para calcular sus constantes de normalización (también conocidas como energías libres o funciones de partición). [2] [67] [68] [69]
En biología computacional , y más específicamente en genética de poblaciones , los procesos de ramificación espacial con mecanismos de selección y migración competitivos también pueden representarse mediante modelos de dinámica de poblaciones de tipo genético de campo medio . [4] [70] Los primeros momentos de las medidas de ocupación de un proceso de ramificación espacial están dados por los flujos de distribución de Feynman-Kac. [71] [72] La aproximación de tipo genético de campo medio de estos flujos ofrece una interpretación del tamaño de población fijo de estos procesos de ramificación. [2] [3] [73] Las probabilidades de extinción pueden interpretarse como probabilidades de absorción de algún proceso de Markov que evolucione en algún entorno absorbente. Estos modelos de absorción están representados por modelos de Feynman-Kac. [74] [75] [76] [77] El comportamiento a largo plazo de estos procesos condicionados a la no extinción se puede expresar de forma equivalente mediante medidas cuasi-invariantes , límites de Yaglom , [78] o medidas invariantes de Feynman normalizado no lineal. -Kac fluye. [2] [3] [54] [55] [66] [79]
En ciencias de la computación , y más particularmente en inteligencia artificial, estos algoritmos genéticos de campo medio se utilizan como heurísticas de búsqueda aleatoria que imitan el proceso de evolución para generar soluciones útiles a problemas complejos de optimización. [80] [81] [82] Estos algoritmos de búsqueda estocástica pertenecen a la clase de modelos evolutivos . La idea es propagar una población de posibles soluciones candidatas utilizando mecanismos de mutación y selección. La interacción de campo medio entre los individuos está encapsulada en los mecanismos de selección y de cruce.
En los juegos de campo medio y las teorías de sistemas que interactúan con múltiples agentes , los procesos de partículas del campo medio se utilizan para representar el comportamiento colectivo de sistemas complejos con individuos que interactúan. [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] En este contexto, la interacción del campo medio se encapsula en el proceso de decisión de los agentes que interactúan. El modelo limitante, dado que el número de agentes tiende a infinito, a veces se denomina modelo continuo de agentes [91].
En la teoría de la información , y más específicamente en el aprendizaje automático estadístico y el procesamiento de señales , los métodos de partículas de campo medio se utilizan para muestrear secuencialmente las distribuciones condicionales de algún proceso aleatorio con respecto a una secuencia de observaciones o una cascada de eventos raros . [2] [3] [73] [92] En problemas de filtrado no lineal en tiempo discreto , las distribuciones condicionales de los estados aleatorios de una señal dadas observaciones parciales y ruidosas satisfacen una ecuación de evolución de predicción-actualización no lineal. El paso de actualización viene dado por la regla de Bayes , y el paso de predicción es una ecuación de transporte de Chapman-Kolmogorov . La interpretación de partículas de campo medio de estas ecuaciones de filtrado no lineal es un algoritmo de partículas de mutación de selección de tipo genético [48] Durante el paso de mutación, las partículas evolucionan independientemente unas de otras de acuerdo con las transiciones de Markov de la señal. Durante la etapa de selección, las partículas con valores de probabilidad relativa pequeños mueren, mientras que las que tienen valores relativos altos se multiplican. [93] [94] Estas técnicas de partículas de campo medio también se utilizan para resolver problemas de rastreo de objetos múltiples y, más específicamente, para estimar medidas de asociación [2] [73] [95]
La versión en tiempo continuo de estos modelos de partículas son interpretaciones de partículas de tipo Moran de campo medio de las ecuaciones robustas de evolución del filtro óptimo o la ecuación diferencial parcial estocástica de Kushner-Stratonotich. [4] [31] [94] Estos algoritmos de partículas de campo medio de tipo genético, también denominados filtros de partículas y métodos de Monte Carlo secuencial, se utilizan de forma extensa y rutinaria en la investigación de operaciones y la inferencia estadística. [96] [97] [98] El término "filtros de partículas" fue acuñado por primera vez en 1996 por Del Moral, [41] y el término "Monte Carlo secuencial" por Liu y Chen en 1998. Simulación de subconjuntos y división de Monte Carlo [99 ] las técnicas son casos particulares de esquemas de partículas genéticas y modelos de partículas de Feynman-Kac equipados con transiciones de mutaciones de Monte Carlo de la cadena de Markov [67] [100] [101]
Ilustraciones del método de simulación de campo medio
Modelos de espacio de estados contables
Para motivar el algoritmo de simulación de campo medio empezamos con S un finita o estado contable espacio y dejar que P ( S ) denota el conjunto de todas las medidas de probabilidad en S . Considere una secuencia de distribuciones de probabilidad en S satisfaciendo una ecuación de evolución:
( 1 )
para algunos, posiblemente no lineales, mapeo Estas distribuciones están dadas por vectores
que satisfacen:
Por lo tanto, es un mapeo del - unidad simple en sí mismo, donde s representa la cardinalidad del conjunto S . Cuando s es demasiado grande, resolver la ecuación ( 1 ) es intratable o computacionalmente muy costoso. Una forma natural de aproximar estas ecuaciones de evolución es reducir secuencialmente el espacio de estados utilizando un modelo de partículas de campo medio. Uno de los esquemas de simulación de campo medio más simple está definido por la cadena de Markov
en el espacio del producto , comenzando con N variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad y transiciones elementales
con la medida empírica
dónde es la función indicadora del estado x .
En otras palabras, dado Las muestras son variables aleatorias independientes con distribución de probabilidad . La razón fundamental detrás de esta técnica de simulación de campo medio es la siguiente: Esperamos que cuando es una buena aproximación de , luego es una aproximación de . Por lo tanto, dado quees la medida empírica de N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad común, esperamos ser una buena aproximación de .
Otra estrategia es encontrar una colección.
de matrices estocásticas indexadas por tal que
( 2 )
Esta fórmula nos permite interpretar la secuencia como las distribuciones de probabilidad de los estados aleatorios del modelo de cadena de Markov no lineal con transiciones elementales
Una colección de transiciones de Markov satisfacer la ecuación ( 1 ) se denomina interpretación de McKean de la secuencia de medidas. La interpretación de partículas de campo medio de ( 2 ) ahora está definida por la cadena de Markov
en el espacio del producto , comenzando con N copias aleatorias independientes de y transiciones elementales
con la medida empírica
En algunas condiciones de regularidad débil [2] en el mapeo para cualquier función , tenemos la convergencia casi segura
Estos procesos de Markov no lineales y su interpretación de partículas de campo medio se pueden extender a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados generales medibles . [2]
Modelos Feynman-Kac
Para ilustrar los modelos abstractos presentados anteriormente, consideramos una matriz estocástica y alguna función . Asociamos con estos dos objetos el mapeo
y las medidas de Boltzmann-Gibbs definido por
Denotamos por la colección de matrices estocásticas indexadas por dada por
para algún parámetro . Se comprueba fácilmente que se cumple la ecuación ( 2 ). Además, también podemos mostrar (cf. por ejemplo [3] ) que la solución de ( 1 ) viene dada por la fórmula de Feynman-Kac
con una cadena de Markov con distribución inicial y la transición de Markov M .
Para cualquier función tenemos
Si es la función de la unidad y , entonces nosotros tenemos
Y la ecuación ( 2 ) se reduce a la ecuación de Chapman-Kolmogorov
La interpretación de partículas de campo medio de este modelo de Feynman-Kac se define mediante el muestreo secuencial de N variables aleatorias condicionalmente independientes con distribución de probabilidad
En otras palabras, con una probabilidad la partícula evoluciona a un nuevo estado elegido al azar con la distribución de probabilidad ; de lo contrario, salta a una nueva ubicación elegido al azar con una probabilidad proporcional a y evoluciona a un nuevo estado elegido al azar con la distribución de probabilidad Si es la función de la unidad y , la interacción entre la partícula desaparece y el modelo de partículas se reduce a una secuencia de copias independientes de la cadena de Markov . Cuándoel modelo de partícula medio campo descrito anteriormente reduce a una simple mutación-selección algoritmo genético con función de aptitud G y la transición mutación M . Estos modelos de cadena de Markov no lineales y su interpretación de partículas de campo medio pueden extenderse a modelos no homogéneos en el tiempo en espacios de estados generales medibles (incluidos estados de transición, espacios de trayectoria y espacios de excursión aleatoria) y modelos de tiempo continuo. [1] [2] [3]
Modelos de espacio de estados no lineales gaussianos
Consideramos una secuencia de variables aleatorias de valor real definido secuencialmente por las ecuaciones
( 3 )
con una colección de variables aleatorias gaussianas estándar independientes , un parámetro positivo σ , algunas funciones y algún estado aleatorio inicial estándar gaussiano . Dejamos ser la distribución de probabilidad del estado aleatorio ; es decir, para cualquier función medible acotada f , tenemos
con
La integral es la integral de Lebesgue y dx representa una vecindad infinitesimal del estado x . La transición de Markov de la cadena se da para cualquier función medible acotada f mediante la fórmula
con
Usando la propiedad de la torre de las expectativas condicionales , probamos que las distribuciones de probabilidad satisfacer la ecuación no lineal
para cualquier función medible acotada f . Esta ecuación a veces se escribe en la forma más sintética
La interpretación de partículas de campo medio de este modelo está definida por la cadena de Markov
en el espacio del producto por
dónde
representan N copias independientes de y respectivamente. Para modelos regulares (por ejemplo, para funciones de Lipschitz acotadas a , b , c ) tenemos la convergencia casi segura
con la medida empírica
para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo [2] ). En la pantalla de arriba,representa la medida de Dirac en el estado x .
Modelos de campo medio de tiempo continuo
Consideramos un movimiento browniano estándar (también conocido como Proceso de Wiener ) evaluado en una secuencia de malla de tiempo con un paso de tiempo dado . Nosotros elegimosen la ecuación ( 1 ), reemplazamosy σ por y y escribimos en vez de los valores de los estados aleatorios evaluados en el paso de tiempo Recordando que son variables aleatorias gaussianas centradas independientes con varianza la ecuación resultante se puede reescribir de la siguiente forma
( 4 )
Cuando h → 0, la ecuación anterior converge al proceso de difusión no lineal
El modelo de tiempo continuo de campo medio asociado con estas difusiones no lineales es el proceso de difusión (que interactúa) en el espacio del producto definido por
dónde
son N copias independientes de y Para modelos regulares (por ejemplo, para funciones de Lipschitz acotadas a , b ) tenemos la convergencia casi segura
- ,
con y la medida empírica
para cualquier función medible acotada f (cf. por ejemplo. [7] ). Estos procesos de Markov no lineales y su interpretación de partículas de campo medio pueden extenderse a procesos interactivos de difusión por salto [1] [2] [23] [25]
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enlaces externos
- Modelos de Feynman-Kac y sistemas de partículas interactuantes , aspectos teóricos y una lista de dominios de aplicación de los métodos de partículas de Feynman-Kac
- Recursos del método secuencial de Monte Carlo y filtros de partículas
- Recursos de Interacting Particle Systems
- QMC en Cambridge y en todo el mundo , información general sobre Quantum Monte Carlo
- Paquete de software EVOLVER para optimización estocástica mediante algoritmos genéticos
- Programa CASINO Quantum Monte Carlo desarrollado por el grupo de Teoría de la Materia Condensada en el Laboratorio Cavendish de Cambridge
- Biips es un software de programación probabilística para inferencia bayesiana con sistemas de partículas que interactúan.