Teorema del valor medio (diferencias divididas)

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En análisis matemático , el teorema del valor medio para diferencias divididas generaliza el teorema del valor medio a derivadas superiores. ^[1]

Para cualquier n  + 1 puntos distintos por pares x ₀ , ...,  x _n en el dominio de una función diferenciable n veces f , existe un punto interior

Sea el polinomio de interpolación de Lagrange para f en x ₀ , ...,  x _n . Entonces se sigue de la forma de Newton de que el término más alto de es .${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle f [x_ {0}, \ dots, x_ {n}] (x-x_ {n-1}) \ dots (x-x_ {1}) (x-x_ {0})}$

Sea el resto de la interpolación, definida por . Luego tiene ceros: x ₀ , ...,  x _n . Aplicando el teorema de Rolle primero a , luego a , y así sucesivamente hasta que encontramos que tiene un cero . Esto significa que${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g = fP}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle g '}$${\ Displaystyle g ^ {(n-1)}}$${\ Displaystyle g ^ {(n)}}$${\ Displaystyle \ xi}$

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