En álgebra , un coalgebra de medición de dos álgebras A y B es un coalgebra enriquecimiento del conjunto de homomorfismos de A a B . En otras palabras, si se piensa que coalgebras de como una especie de análogo lineal de conjuntos, entonces el coalgebra medición es una especie de análogo lineal del conjunto de homomorfismos de A a B . En particular, su grupo-como elementos son (esencialmente) los homomorfismos de A a B . La medición de carbongebras fue introducida por Sweedler ( 1968, 1969 ).
Definición
Se dice que una coalgebra C con un mapa lineal de C × A a B mide A a B si conserva el producto y la identidad del álgebra (en el sentido de la coalgebra). Si pensamos en los elementos de C como mapas lineales de A a B , esto significa que c ( a 1 a 2 ) = Σ c 1 ( a 1 ) c 2 ( a 2 ) donde Σ c 1 ⊗ c 2 es el coproducto de c , yc multiplica las identidades por el recuento de c . En particular, si c es grouplike esta sólo los estados que c es un homomorfismo de A a B . Una coalgebra de medición es una coalgebra universal que mide de A a B en el sentido de que cualquier coalgebra que mida A a B puede asignarse a ella de una manera natural única.
Ejemplos de
- El grupo-como elementos de un coalgebra de medición de A a B son los homomorfismos de A a B .
- Los elementos primitivos de una coalgebra de medición de A a B son las derivaciones de A a B .
- Si A es el álgebra de funciones reales continuas en un espacio compacto de Hausdorff X y B son los números reales, entonces el coalgebra midiendo desde una a B puede ser identificado con un número finito de medidas apoyadas en X . Este puede ser el origen del término "medición de carbonilla".
- En el caso especial cuando A = B , el coalgebra de medición tiene una estructura natural de un álgebra de Hopf, llamado el álgebra de Hopf del álgebra A .
Referencias
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2010), Álgebras, anillos y módulos. Álgebras de Lie y álgebras de Hopf , Encuestas y monografías matemáticas, 168 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-5262-0, MR 2724822 , Zbl 1211.16023
- Sweedler, Moss E. (1968), "El álgebra de Hopf de un álgebra aplicada a la teoría de campos", J. Algebra , 8 : 262-276, doi : 10.1016 / 0021-8693 (68) 90059-8 , MR 0222053
- Sweedler, Moss E. (1969), Álgebras de Hopf , Serie de notas de conferencias de matemáticas, WA Benjamin, Inc., Nueva York, MR 0252485 , Zbl 0194.32901