Coalgebra

En matemáticas , coalgebras o cogebras son estructuras que son dual (en la categoría de teoría de sentido de marcha atrás flechas ) a unital álgebras asociativas . Los axiomas de las álgebras asociativas unitales se pueden formular en términos de diagramas conmutativos . Girando todas las flechas, se obtienen los axiomas de coalgebras. Toda coalgebra, por dualidad ( espacio vectorial ) , da lugar a un álgebra, pero no en general al revés. En dimensiones finitas , esta dualidad va en ambas direcciones ( ver más abajo ).

Las coalgebras ocurren naturalmente en varios contextos (por ejemplo, teoría de la representación , álgebras envolventes universales y esquemas de grupo ).

También existen F-coalgebras , con importantes aplicaciones en informática .

Discusión informal

Un ejemplo recurrente de coalgebras ocurre en la teoría de la representación y, en particular, en la teoría de la representación del grupo de rotación . Una tarea principal, de uso práctico en física, es obtener combinaciones de sistemas con diferentes estados de momento angular y espín . Para ello, se utilizan los coeficientes de Clebsch-Gordan . Dados dos sistemas con momentos angulares y , una tarea particularmente importante es encontrar el momento angular total dado el estado combinado . Esto lo proporciona el operador de momento angular total${\displaystyle A,B}$${\displaystyle j_{A}}$${\displaystyle j_{B}}$${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$, que extrae la cantidad necesaria de cada lado del producto tensorial. Puede escribirse como un producto tensorial "externo".

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

La palabra "externo" aparece aquí, en contraste con el producto tensorial "interno" de un álgebra tensorial . Un álgebra tensorial viene con un producto tensorial (el interno); también se puede equipar con un segundo producto tensor, el "externo", o el coproducto , que tiene la forma anterior. Que son dos productos diferentes se enfatiza recordando que el producto tensorial interno de un vector y un escalar es simplemente una simple multiplicación escalar. El producto externo los mantiene separados. En este escenario, el coproducto es el mapa

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

eso toma

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Para este ejemplo, puede tomarse como una de las representaciones de giro del grupo de rotación, siendo la representación fundamental la elección del sentido común. Este coproducto se puede elevar a todo el álgebra tensorial, mediante un lema simple que se aplica a los objetos libres : el álgebra tensorial es un álgebra libre , por lo tanto, cualquier homomorfismo definido en un subconjunto puede extenderse a todo el álgebra. Al examinar el levantamiento en detalle, se observa que el coproducto se comporta como el producto de barajado , esencialmente porque los dos factores anteriores, el izquierdo y el derecho, deben mantenerse en orden secuencial durante los productos de múltiples momentos angulares (las rotaciones no son conmutativas). ${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {j} }$

La forma peculiar de hacer que aparezcan sólo una vez en el coproducto, en lugar de (por ejemplo) definir, es para mantener la linealidad: para este ejemplo (y para la teoría de la representación en general), el coproducto debe ser lineal. Como regla general, el coproducto en la teoría de la representación es reducible; los factores vienen dados por la regla de Littlewood-Richardson . (La regla de Littlewood-Richardson transmite la misma idea que los coeficientes de Clebsch-Gordan, pero en un contexto más general).${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

La definición formal de coalgebra, a continuación, abstrae este caso especial particular, y sus propiedades requeridas, en un marco general.

Definicion formal

Formalmente, una coalgebra sobre un campo K es un espacio vectorial C sobre K junto con K -mapas lineales Δ: C → C ⊗ C y ε: C → K tal que

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$.

(Aquí ⊗ se refiere al producto tensorial sobre K e id es la función de identidad ).

De manera equivalente, los siguientes dos diagramas se conmutan :

En el primer diagrama, C ⊗ ( C ⊗ C ) se identifica con ( C ⊗ C ) ⊗ C ; los dos son naturalmente isomorfos . ^[1] De manera similar, en el segundo diagrama se identifican los espacios naturalmente isomorfos C , C ⊗ K y K ⊗ C. ^[2]

El primer diagrama es el dual del que expresa la asociatividad de la multiplicación del álgebra (llamada coasociatividad de la comultiplicación); el segundo diagrama es el dual del que expresa la existencia de una identidad multiplicativa . En consecuencia, el mapa Δ se llama la multiplicación (o coproducto ) de C y ε es elcounit deC.

Ejemplos de

Tome un conjunto arbitrario S y forme el espacio de vectores K C = K ^{( S )} con base S , como sigue. Los elementos de este espacio vectorial C son aquellas funciones de S a K que mapean todos menos un número finito de elementos de S a cero; identificar el elemento s de S con la función de que los mapas s a 1 y todos los otros elementos de S a 0. Definir

Δ ( s ) = s ⊗ s y ε ( s ) = 1 para todos los s en S .

Por linealidad, tanto Δ ε y pueden entonces ser extendidos de forma única a todos C . El espacio vectorial C se convierte en una coalgebra con multiplicación Δ y cuenta ε.

Como segundo ejemplo, considere el anillo polinomial K [ X ] en un X indeterminado . Esto se convierte en una coalgebra (la potencia dividida coalgebra ^{[3] [4]} ) si para todo n ≥ 0 se define:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{n-k},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Nuevamente, debido a la linealidad, esto es suficiente para definir Δ y ε de forma única en todo K [ X ]. Ahora K [ X ] es tanto un álgebra asociativa unital como una coalgebra, y las dos estructuras son compatibles. Objetos como este se denominan bialgebras y, de hecho, la mayoría de las coalgebras importantes consideradas en la práctica son bialgebras.

Ejemplos de coalgebras incluyen el álgebra tensorial , el álgebra exterior , las álgebras de Hopf y las bialgebras de Lie . A diferencia del caso polinomial anterior, ninguno de estos es conmutativo. Por lo tanto, el coproducto se convierte en el producto de mezcla , en lugar de la estructura de poder dividida dada anteriormente. El producto aleatorio es apropiado, porque conserva el orden de los términos que aparecen en el producto, como lo necesitan las álgebras no conmutativas.

La homología singular de un espacio topológico forma una coalgebra graduada siempre que se cumple el isomorfismo de Künneth , por ejemplo, si los coeficientes se toman como un campo. ^[5]

Si C es el espacio de K -vector con base { s , c }, considere Δ: C → C ⊗ C está dado por

Δ ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ ( c ) = c ⊗ c - s ⊗ s

y ε: C → K viene dado por

ε ( s ) = 0

ε ( c ) = 1

En esta situación, ( C , Δ, ε) es una coalgebra conocida como coalgebra trigonométrica . ^{[6] [7]}

Para un poset localmente finito P con un conjunto de intervalos J , defina la incidencia coalgebra C con J como base y comultiplicación para x < z

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{x<y<z}[x,y]\otimes [y,z]\ .}$

Los intervalos de longitud cero corresponden a puntos de P y son elementos grupales. ^[8]

Dimensiones finitas

En dimensiones finitas, la dualidad entre álgebras y coalgebras es más cercana: el dual de un álgebra de dimensión finita (asociativa unital) es una coalgebra, mientras que el dual de una coalgebra de dimensión finita es un álgebra (asociativa unital). En general, el dual de un álgebra puede no ser una coalgebra.

El punto clave es que en dimensiones finitas, ( A ⊗ A ) ^∗ y A ^∗ ⊗ A ^∗ son isomorfos.

Para distinguir estos: en general, álgebra y coalgebra son nociones duales (lo que significa que sus axiomas son duales: invierte las flechas), mientras que para las dimensiones finitas, son objetos duales (lo que significa que una coalgebra es el objeto dual de un álgebra y viceversa) .

Si A es un K -álgebra asociativa unital de dimensión finita , entonces su K -dual A ^{∗ que} consta de todos los K -mapas lineales de A a K es una coalgebra. La multiplicación de A puede verse como un mapa lineal A ⊗ A → A , que cuando se dualiza produce un mapa lineal A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . En el caso de dimensión finita, ( A ⊗ A ) ^∗es naturalmente isomorfo a A ^∗ ⊗ A ^∗ , por lo que esto define una comultiplicación en A ^∗ . La cuenta de A ^∗ viene dada por la evaluación de funcionales lineales en 1.

Notación Sweedler

Cuando se trabaja con coalgebras, una cierta notación para la comultiplicación simplifica considerablemente las fórmulas y se ha vuelto bastante popular. Dado un elemento c de la coalgebra ( C , Δ, ε), existen elementos c ₍₁₎ ^{( i )} y c ₍₂₎ ^{( i )} en C tal que

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

En la notación de Sweedler , ^[9] (llamado así por Moss Sweedler ), esto se abrevia como

${\displaystyle \Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

El hecho de que ε sea un recuento se puede expresar con la siguiente fórmula

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

La coasociatividad de Δ se puede expresar como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

En la notación de Sweedler, ambas expresiones se escriben como

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Algunos autores también omiten los símbolos de suma; en esta notación sin límites de Sweedler, se escribe

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

y

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Siempre que se encuentre una variable con índice reducido y entre paréntesis en una expresión de este tipo, se implica un símbolo de suma para esa variable.

Más conceptos y hechos

Una coalgebra ( C , Δ, ε ) se llama co-conmutativa si , donde σ: C ⊗ C → C ⊗ C es el mapa lineal K definido por σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c para todo c , d en C . En la notación sumatoria de Sweedler, C es coconmutativo si y solo si${\displaystyle \sigma \circ \Delta =\Delta }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

para todos c en C . (Es importante entender que la suma implícita es significativa aquí: no se requiere que todos los sumandos sean iguales por pares, solo que las sumas sean iguales, un requisito mucho más débil).

Un elemento similar a un grupo (o un elemento similar a un conjunto ) es un elemento x tal que Δ ( x ) = x ⊗ x y ε ( x ) = 1 . Al contrario de lo que sugiere esta convención de nomenclatura, los elementos de tipo grupo no siempre forman un grupo y, en general, solo forman un conjunto. Los elementos grupales de un álgebra de Hopf forman un grupo. Un elemento primitivo es un elemento x que satisface Δ ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Los elementos primitivos de un álgebra de Hopf forman un álgebra de Lie. ^{[10] [11]}

Si ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) y ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) son dos coalgebras sobre el mismo campo K , entonces un morfismo de coalgebra de C ₁ a C ₂ es un mapa lineal K f  : C ₁ → C ₂ tal que y . En la notación sumatoria de Sweedler, la primera de estas propiedades se puede escribir como:${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$${\displaystyle \epsilon _{2}\circ f=\epsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

La composición de dos morfismos de coalgebra es nuevamente un morfismo de coalgebra, y las coalgebras sobre K junto con esta noción de morfismo forman una categoría .

Un subespacio lineal I en C se llama una coideal si I ⊆ ker ( ε ) y Δ ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . En ese caso, el espacio cociente C / I se convierte en una coalgebra de forma natural.

Un subespacio D de C se llama subcoalgebra si Δ ( D ) ⊆ D ⊗ D ; en ese caso, D es en sí mismo una coalgebra, con la restricción de ε a D como cuenta.

El núcleo de cada morfismo de coalgebra f  : C ₁ → C ₂ es un coideal en C ₁ , y la imagen es una subcoalgebra de C ₂ . Los teoremas del isomorfismo común son válidos para coalgebras, por lo que, por ejemplo, C ₁ / ker ( f ) es isomorfo a im ( f ).

Si A es un álgebra K asociativa unital de dimensión finita , entonces A ^∗ es una coalgebra de dimensión finita y, de hecho, toda coalgebra de dimensión finita surge de esta manera a partir de algún álgebra de dimensión finita (es decir, del K- dual de la coalgebra). Bajo esta correspondencia, las álgebras conmutativas de dimensión finita corresponden a las coalgebras coconmutativas de dimensión finita. Entonces, en el caso de dimensión finita, las teorías de las álgebras y de las coalgebras son duales; estudiar uno equivale a estudiar el otro. Sin embargo, las relaciones divergen en el caso de dimensión infinita: mientras que el K -dual de cada coalgebra es un álgebra, el K-dual de un álgebra de dimensión infinita no necesita ser una coalgebra.

Cada coalgebra es la suma de sus subcoalgebras de dimensión finita, algo que no es cierto para las álgebras. En abstracto, las coalgebras son generalizaciones, o duales, de álgebras asociativas unitales de dimensión finita.

Correspondiente al concepto de representación para álgebras es una presentación central o comódulo .

Ver también

• Cofree coalgebra
• Midiendo coalgebra
• Dialgebra

Referencias

1. Yokonuma (1992). "Prop. 1.7". Espacios tensoriales y álgebra exterior . pag. 12.
2. Yokonuma (1992). "Prop. 1.4". Espacios tensoriales y álgebra exterior . pag. 10.
3. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción . pag. 3.
4. Véase también Raianu, Serban. Coalgebras de Formulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en la Wayback Machine , p. 2.
5. "Notas de la conferencia para referencia" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2012 . Consultado el 31 de octubre de 2008 .
6. Véase también Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción . pag. 4.y Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu (2001). Álgebras de Hopf: una introducción . pag. 55., Ex. 1.1.5.
7. Raianu, Serban. Coalgebras de Formulas Archivado el 29 de mayo de 2010 en la Wayback Machine , p. 1.
8. Montgomery (1993) p.61
9. Underwood (2011) p.35
10. Mikhalev, Aleksandr Vasilʹevich; Pilz, Günter, eds. (2002). El manual conciso de álgebra . Springer-Verlag . pag. 307, C.42. ISBN 0792370724.
11. Abe, Eiichi (2004). Álgebras de Hopf . Cambridge Tracts in Mathematics. 74 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 59. ISBN 0-521-60489-3.

Otras lecturas

• Block, Richard E .; Leroux, Pierre (1985), "Carbongebras duales generalizadas de álgebras, con aplicaciones a cofree coalgebras", Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15-21, doi : 10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-X , ISSN  0022-4049 , MR  0782637 , Zbl  0.556,16005
• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An Introduction , Pure and Applied Mathematics, 235 (1st ed.), Nueva York, NY: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl  0962.16026.
• Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comódulos sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Hazewinkel, Michiel (2003), "Cofree coalgebras y recursividad multivariable", Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61-103, doi : 10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6 , ISSN  0022-4049 , Señor  1992043 , Zbl  1048.16022
• Montgomery, Susan (1993), Álgebras de Hopf y sus acciones en los anillos , Serie de conferencias regionales en matemáticas, 82 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0738-2, Zbl  0793.16029
• Underwood, Robert G. (2011), Introducción a las álgebras de Hopf , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl  1234.16022
• Yokonuma, Takeo (1992), espacios tensoriales y álgebra exterior , traducciones de monografías matemáticas, 108 , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-4564-0, Zbl  0754.15028
• Capítulo III, sección 11 en Bourbaki, Nicolas (1989). Álgebra . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.

enlaces externos

• William Chin: una breve introducción a la teoría de la representación de coalgebra