En matemáticas , un homomorfismo de álgebra es un homomorfismo entre dos álgebras asociativas . Más precisamente, si A y B son álgebras sobre un campo (o anillo conmutativo ) K , es una función tal que para todo k en K y x , y en A , [1] [2]
Las dos primeras condiciones dicen que M es un K - aplicación lineal (o K homomorfismo -module si K es un anillo conmutativo), y la última condición dice que F es una lista (no unital) homomorfismo de anillos .
Si F admite una inversa homomorfismo, o de manera equivalente si es biyectiva , F se dice que es un isomorfismo entre A y B .
Homomorfismos de álgebra unital
Si A y B son dos álgebras unitales, entonces un homomorfismo de álgebrase dice que es unital si se asigna la unidad de la A a la unidad de B . A menudo, las palabras "homomorfismo de álgebra" se utilizan en realidad para significar "homomorfismo de álgebra unital", en cuyo caso se excluyen los homomorfismos de álgebra no unital.
Un homomorfismo de álgebra unital es un homomorfismo de anillo (unital) .
Ejemplos de
- Cada anillo es un -álgebra ya que siempre existe un homomorfismo único . Consulte Ejemplos de álgebra asociativa # para obtener una explicación.
- Cualquier homomorfismo de anillos conmutativos. da la estructura de un álgebra R conmutativa . Por el contrario, si S es un álgebra R conmutativa, el mapaes un homomorfismo de anillos conmutativos. Es sencillo deducir que la sobrecategoría de los anillos conmutativos sobre R es la misma que la categoría de conmutativos-álgebras.
- Si A es una subálgebra de B , a continuación, para cada invertible b en B la función que toma cada una en una a b -1 un b es un homomorfismo álgebra (en caso, esto se llama un automorfismo interno de B ). Si A también es simple y B es un álgebra simple central , entonces todo homomorfismo de A a B viene dado de esta manera por algún b en B ; este es el teorema de Skolem-Noether .
Ver también
Referencias
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.