En matemáticas , el mediant de dos fracciones , generalmente de cuatro números enteros positivos
- y Se define como
Es decir, el numerador y denominador del mediante son las sumas de los numeradores y denominadores de las fracciones dadas, respectivamente. A veces se le llama suma de estudiantes de primer año , ya que es un error común en las primeras etapas del aprendizaje sobre la suma de fracciones .
Técnicamente, se trata de una operación binaria sobre fracciones válidas (denominador distinto de cero), consideradas como pares ordenados de números enteros apropiados, sin tener en cuenta a priori la perspectiva de los números racionales como clases de equivalencia de fracciones. Por ejemplo, el mediante de las fracciones 1/1 y 1/2 es 2/3. Sin embargo, si la fracción 1/1 se reemplaza por la fracción 2/2, que es una fracción equivalente que denota el mismo número racional 1, el mediante de las fracciones 2/2 y 1/2 es 3/4. Para una conexión más fuerte con los números racionales, se puede requerir que las fracciones se reduzcan a los términos más bajos , seleccionando así representantes únicos de las respectivas clases de equivalencia.
El árbol de Stern-Brocot proporciona una enumeración de todos los números racionales positivos a través de mediantes en los términos más bajos, obtenidos puramente por cálculo iterativo del mediante de acuerdo con un algoritmo simple.
Propiedades
- La desigualdad mediante: Una propiedad importante (que también explica su nombre) del mediante es que se encuentra estrictamente entre las dos fracciones de las que es el mediante: si y , luego
- Esta propiedad se sigue de las dos relaciones
- y
- Supongamos que el par de fracciones de un / c y b / d satisface la relación determinante. Entonces el mediante tiene la propiedad de ser la fracción más simple en el intervalo ( a / c , b / d ), en el sentido de ser la fracción con el denominador más pequeño. Más precisamente, si la fraccióncon denominador positivo c' mentiras (estrictamente) entre un / c y b / d , entonces su numerador y el denominador se pueden escribir como y con dos números reales positivos (de hecho racionales). Para ver por qué el debe ser positivo nota que
- y
- debe ser positivo. La relación determinante
- entonces implica que ambos deben ser enteros, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales
- por . Por lo tanto
- Lo contrario también es cierto: suponga que el par de fracciones reducidas a / c < b / d tiene la propiedad de que la fracción reducida con el denominador más pequeño que se encuentra en el intervalo ( a / c , b / d ) es igual al mediante de la dos fracciones. Entonces se cumple la relación determinante bc - ad = 1. Este hecho puede deducirse, por ejemplo, con la ayuda del teorema de Pick, que expresa el área de un triángulo plano cuyos vértices tienen coordenadas enteras en términos del número v interior de puntos reticulares (estrictamente) dentro del triángulo y el número v límite de puntos reticulares en el límite del triángulo. Considere el triangulocon los tres vértices v 1 = (0, 0), v 2 = ( a , c ), v 3 = ( b , d ). Su área es igual a
- Un punto dentro del triángulo se puede parametrizar como
- dónde
- La fórmula de Pick
- ahora implica que debe haber un punto de celosía q = ( q 1 , q 2 ) dentro del triángulo diferente de los tres vértices si bc - ad > 1 (entonces el área del triángulo es ). La fracción correspondiente q 1 / q 2 se encuentra (estrictamente) entre las fracciones dadas (por supuesto reducido) y tiene denominador
- como
- En relación con esto, si p / q y r / s se reducen las fracciones en la unidad de intervalo tal que | ps - rq | = 1 (para que sean elementos adyacentes de una fila de la secuencia de Farey ) entonces
- dónde ? es la función del signo de interrogación de Minkowski .
- De hecho, los mediadores ocurren comúnmente en el estudio de fracciones continuas y, en particular, fracciones de Farey . El n º secuencia de Farey F n se define como la (ordenados con respecto a la magnitud) secuencia de fracciones reducidas a / b (con primos entre sí un , b ) de tal manera que b ≤ n . Si dos fracciones a / c < b / d son fracciones adyacentes (vecinas) en un segmento de F n, entonces la relación determinante mencionado anteriormente es generalmente válido y por lo tanto la mediante es la fracción más simple en el intervalo ( a / c , b / d ), en el sentido de ser la fracción con el denominador más pequeño. Así, el mediant entonces (primera) aparece en la ( c + d ) ésima secuencia de Farey y es la fracción "siguiente" que se inserta en cualquier secuencia Farey entre un / c y b / d . Esto da la regla de cómo las secuencias de Farey F n se construyen sucesivamente con n creciente .
Determinación gráfica de mediantes
Un número racional positivo es uno en la forma dónde son números naturales positivos ; es decir . El conjunto de números racionales positivoses, por tanto, el producto cartesiano depor sí mismo; es decir . Un punto con coordenadas representa el número racional , y la pendiente de un segmento que conecta el origen de las coordenadas a este punto es . Desdeno es necesario que sean coprime , señalarrepresenta uno y solo un número racional, pero un número racional está representado por más de un punto; p.ej son todas representaciones del número racional . Esta es una ligera modificación de la definición formal de números racionales, restringiéndolos a valores positivos y cambiando el orden de los términos en el par ordenado. de modo que la pendiente del segmento sea igual al número racional.
Dos puntos dónde son dos representaciones de números racionales (posiblemente equivalentes) y . Los segmentos de línea que conectan el origen de las coordenadas a y Forme dos lados adyacentes en un paralelogramo. El vértice del paralelogramo opuesto al origen de las coordenadas es el punto, que es el mediador de y .
El área del paralelogramo es , que también es la magnitud del producto cruzado de los vectores y . De la definición formal de equivalencia de números racionales se deduce que el área es cero si y son equivalentes. En este caso, un segmento coincide con el otro, ya que sus pendientes son iguales. El área del paralelogramo formado por dos números racionales consecutivos en el árbol de Stern-Brocot es siempre 1. [1]
Generalización
La noción de mediante se puede generalizar en n fracciones, y se mantiene una desigualdad mediante generalizada, [2] un hecho que parece haber sido advertido por primera vez por Cauchy. Más precisamente, el mediante ponderadode n fracciones es definido por (con ). Se puede demostrar que se encuentra en algún lugar entre la fracción más pequeña y la más grande entre los .
Ver también
Referencias
- ^ Austin, David. Árboles, dientes y tiempo: las matemáticas de la fabricación de relojes , columna de características de AMS
- ^ Bensimhoun, Michael (2013). "Una nota sobre la desigualdad mediante" (PDF) . Cite journal requiere
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