Una fracción irreducible (o fracción en términos mínimos , forma más simple o fracción reducida ) es una fracción en la que el numerador y el denominador son números enteros que no tienen otros divisores comunes que 1 (y -1, cuando se consideran números negativos). [1] En otras palabras, una fracción de un / b es irreducible si y sólo si una y b son primos entre sí , es decir, si una y b tienen un máximo común divisor de 1. En superiores matemáticas, " fracción irreducible " también puede referirse a fracciones racionales de manera que el numerador y el denominador son polinomios coprimos . [2] Todo número racional positivo se puede representar como una fracción irreducible exactamente de una manera. [3]
A veces es útil una definición equivalente: si a , b son números enteros, entonces la fracción a ⁄ b es irreducible si y solo si no hay otra fracción igual c ⁄ d tal que | c | <| a | o | d | <| b |, donde | a | significa el valor absoluto de a . [4] (dos fracciones un / b y c / d son iguales o equivalentes si y sólo si ad = bc ).
Por ejemplo, 1 ⁄ 4 , 5 ⁄ 6 y −101 ⁄ 100 son todas fracciones irreducibles. Por otro lado, 2 ⁄ 4 es reducible ya que es igual en valor a 1 ⁄ 2 , y el numerador de 1 ⁄ 2 es menor que el numerador de 2 ⁄ 4 .
Una fracción que es reducible se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por un factor común. Se puede reducir completamente a los términos más bajos si ambos se dividen por su máximo común divisor . [5] Para encontrar el máximo común divisor, se puede utilizar el algoritmo euclidiano o la factorización prima . El algoritmo euclidiano se prefiere comúnmente porque permite reducir fracciones con numeradores y denominadores demasiado grandes para factorizarlos fácilmente. [6]
Ejemplos de
En la primera etapa ambos números se dividieron por 10, que es un factor común a ambos 120 y 90. En el segundo paso, se dividieron por 3. El resultado final, 4 / 3 , es una fracción irreducible porque 4 y 3 tienen no hay factores comunes distintos de 1.
La fracción original también podría haberse reducido en un solo paso utilizando el máximo común divisor de 90 y 120, que es 30 (es decir, mcd (90,120) = 30). Como 120/30 = 4 y 90/30 = 3 , se obtiene
Qué método es más rápido "a mano" depende de la fracción y la facilidad con la que se detectan los factores comunes. En caso de que queden un denominador y un numerador demasiado grandes para garantizar que sean coprimos por inspección, se necesita un cálculo del máximo común divisor de todos modos para garantizar que la fracción sea realmente irreducible.
Unicidad
Cada número racional tiene una representación única como una fracción irreducible con un denominador positivo [3] (sin embargoaunque ambos son irreductibles). La unicidad es una consecuencia de la factorización prima única de los números enteros, ya queimplica ad = bc y, por lo tanto, ambos lados de este último deben compartir la misma factorización prima, pero y no comparten factores primos, por lo que el conjunto de factores primos de (con multiplicidad) es un subconjunto de los de y viceversa significado y .
Aplicaciones
El hecho de que cualquier número racional tenga una representación única como una fracción irreducible se utiliza en varias pruebas de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 y de otros números irracionales. Por ejemplo, una prueba señala que si la raíz cuadrada de 2 pudiera representarse como una razón de números enteros, entonces tendría en particular la representación completamente reducidadonde un y b son los más pequeños posible; pero dado eso es igual a la raíz cuadrada de 2, también lo hace (ya que multiplicar esto con muestra que son iguales). Dado que este último es una razón de números enteros más pequeños, esto es una contradicción , por lo que la premisa de que la raíz cuadrada de dos tiene una representación como la razón de dos enteros es falsa.
Generalización
La noción de fracción irreducible se generaliza al campo de fracciones de cualquier dominio de factorización único : cualquier elemento de dicho campo puede escribirse como una fracción en la que el denominador y el numerador son coprimos, dividiendo ambos por su máximo común divisor. [7] Esto se aplica especialmente a las expresiones racionales sobre un campo. La fracción irreducible de un elemento dado es única hasta la multiplicación del denominador y el numerador por el mismo elemento invertible. En el caso de los números racionales, esto significa que cualquier número tiene dos fracciones irreductibles, relacionadas por un cambio de signo tanto del numerador como del denominador; esta ambigüedad puede eliminarse exigiendo que el denominador sea positivo. En el caso de funciones racionales, se podría requerir que el denominador sea un polinomio mónico . [8]
Ver también
- Cancelación anómala , un procedimiento aritmético erróneo que produce la fracción irreducible correcta cancelando dígitos de la forma original no reducida.
- Aproximación diofántica , la aproximación de números reales por números racionales.
Referencias
- ^ Stepanov, SA (2001) [1994], "Fracción" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ Por ejemplo, ver Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004), The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, 3-8 de junio de 2002 , Springer, p. 155
- ^ a b Scott, William (1844), Elementos de aritmética y álgebra: para el uso del Royal Military College , libros de texto universitarios, Sandhurst. Royal Military College, 1 , Longman, Brown, Green y Longmans, pág. 75.
- ↑ Scott (1844) , pág. 74.
- ^ Sally, Judith D .; Sally, Paul J., Jr. (2012), "9.1. Reducir una fracción a los términos más bajos", números enteros, fracciones y aritmética: una guía para profesores , biblioteca de círculos matemáticos de MSRI, 10 , American Mathematical Society , págs. 131– 134, ISBN 9780821887981.
- ^ Cuoco, Al; Rotman, Joseph (2013), Aprendiendo álgebra moderna , Libros de texto de la Asociación Matemática de América , Asociación Matemática de América , p. 33, ISBN 9781939512017.
- ^ Garrett, Paul B. (2007), Álgebra abstracta , CRC Press, pág. 183, ISBN 9781584886907.
- ^ Grillet, Pierre Antoine (2007), Álgebra abstracta , Textos de posgrado en matemáticas, 242 , Springer, Lema 9.2, p. 183, ISBN 9780387715681.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Fracción reducida" . MathWorld .