En geometría , el teorema de Pick proporciona una fórmula para el área de un polígono simple con coordenadas de vértice enteras , en términos del número de puntos enteros dentro de él y en su límite. El resultado fue descrito por primera vez por Georg Alexander Pick en 1899, [1] y popularizado en inglés por Hugo Steinhaus en la edición de 1950 de su libro Mathematical Snapshots . [2] [3] Tiene múltiples demostraciones y se puede generalizar a fórmulas para ciertos tipos de polígonos no simples.
Fórmula
Suponga que un polígono tiene coordenadas enteras para todos sus vértices, sea sea el número de puntos enteros que son interiores al polígono y sea ser el número de puntos enteros en su límite (incluidos los vértices y los puntos a lo largo de los lados del polígono). Entonces el area de este polígono es: [4] [5] [6] [7]
Pruebas
A través de la fórmula de Euler
Una prueba de este teorema usa la fórmula poliédrica de Euler para reducir el problema al caso de un triángulo con tres vértices enteros y ningún otro punto entero. Tal triángulo puede enlosar el plano por copias de sí mismo, rotado 180 ° alrededor del punto medio de cada borde. Los triángulos de este mosaico son dos veces más densos que los puntos enteros (cada punto entero pertenece a seis triángulos, mientras que cada triángulo toca solo tres puntos enteros) de lo cual se sigue que su área es exactamente, como también implicaría el teorema de Pick (una vez probado). [4] También es posible utilizar el teorema de Minkowski en puntos de celosía en conjuntos convexos simétricos para demostrar que estos triángulos tienen área. [8]
Cualquier otro polígono simple se puede subdividir en triángulos de este tipo. Si el polígono tiene puntos enteros interiores, puntos limítrofes y área , entonces podemos usar estos números de puntos para contar los vértices, caras y aristas de la subdivisión, usado por la fórmula de Euler. Los puntos interior y límite son los vértices de la subdivisión, por lo que hayvértices totales. La subdivisión tiene caras: triángulos de área para cubrir el área del polígono y una cara más fuera del polígono. Finalmente, cada borde de la subdivisión forma el lado de uno o dos triángulos. Existen lados de triángulos, y bordes de la subdivisión que solo forman el lado de un triángulo en lugar de dos, por lo que el número total de bordes en la subdivisión es . Conectando estos números a la fórmula de Euler da
También es posible ir en la otra dirección, usando el teorema de Pick (demostrado de una manera diferente) como base para una demostración de la fórmula de Euler. [5] [10]
Otras pruebas
Las demostraciones alternativas del teorema de Pick que no usan la fórmula de Euler incluyen
- una prueba basada en la descomposición recursiva del polígono dado en triángulos más grandes, la aditividad de ambos recuentos de áreas y recuentos de puntos bajo esta descomposición, y una fórmula para el área de un triángulo basada en la subdivisión de su cuadro delimitador en el triángulo dado y triángulos rectángulos adicionales , [6] [7] [11]
- una prueba basada en la suma de las áreas cubiertas por el polígono dentro de cada celda de un diagrama de Voronoi de los puntos de la cuadrícula entera (un cuadrado unitario con cada punto de la cuadrícula en el centro), observando que los puntos interiores tienen toda su celda cubierta, borde los puntos tienen la mitad de su cuadrado cubierto, y los puntos de las esquinas están cubiertos por cantidades cuyas diferencias de medio cuadrado (usando un argumento basado en el número de giro ) suman altérmino de corrección en la fórmula de Pick, [7]
- una prueba basada en disección en la que el polígono dado se corta en pedazos por los límites de los cuadrados de la cuadrícula de números enteros, y esos pedazos se reorganizan (haciendo coincidir pares de cuadrados a lo largo de cada borde del polígono) en un poliomino con la misma área, [12]
- una prueba basada en la integración compleja de una función doblemente periódica relacionada con las funciones elípticas de Weierstrass , [13] y
- una prueba obtenida aplicando la fórmula de suma de Poisson a la función característica del polígono. [14]
Generalizaciones
Las generalizaciones del teorema de Pick a polígonos no simples son posibles, pero son más complicadas y requieren más información que solo el número de vértices interiores y de límites. [2] [15] Por ejemplo, un polígono conhuecos delimitados por polígonos enteros simples, separados entre sí y del límite, tiene un área [16]
Los tetraedros de Reeve son una familia de tetraedros en tres dimensiones con puntos enteros como vértices y sin puntos enteros interiores. Debido a que tienen volúmenes variables, no puede haber un análogo del teorema de Pick en tres dimensiones que exprese el volumen de un politopo como una función solo de su número de puntos interiores y límites. [17] Sin embargo, estos volúmenes se pueden expresar utilizando polinomios de Ehrhart . [18] [19]
Ver también
- El teorema de Blichfeldt , sobre la traducción de cualquier forma para que contenga al menos su área en puntos de la cuadrícula.
- Planímetro de puntos, un dispositivo basado en transparencias para estimar el área contando los puntos de la cuadrícula
- Secuencia de Farey , una secuencia ordenada de números racionales con denominadores acotados cuyo análisis involucra el teorema de Pick
- Problema del círculo de Gauss , el problema de limitar el error entre las áreas y el número de puntos de la cuadrícula en círculos
- Puntos enteros en poliedros convexos , un problema de conteo que surge en varias áreas de las matemáticas y la informática.
- Fórmula de cordones , una fórmula diferente para el área que usa solo los vértices consecutivos de un polígono
Referencias
- ↑ Pick, Georg (1899). "Geometrisches zur Zahlenlehre" . Sitzungsberichte des deutschen naturwissenschaftlich-medicinischen Vereines für Böhmen "Lotos" en Prag . (Neue Folge). 19 : 311–319. JFM 33.0216.01 . CiteBank: 47270
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enlaces externos
- Teorema de Pick por Ed Pegg, Jr. , el Proyecto de Demostración Wolfram .
- Pi usando el teorema de Pick por Mark Dabbs, GeoGebra