En matemáticas , la fórmula de inversión de Mellin (llamada así por Hjalmar Mellin ) nos dice las condiciones bajo las cuales la transformada de Mellin inversa , o equivalentemente la transformada de Laplace inversa de dos caras , se definen y recuperan la función transformada.
Método
Si es analítica en la tira , y si tiende a cero uniformemente como para cualquier valor real c entre una y b , con su integral a lo largo de la línea A tal que converge absolutamente, entonces si
tenemos eso
A la inversa, suponga que f ( x ) es continua por partes en los números reales positivos , tomando un valor a medio camino entre los valores límite en cualquier salto discontinuo, y suponga que la integral
es absolutamente convergente cuando . Entonces f es recuperable a través de la transformada inversa de Mellin de su transformada de Mellin[ cita requerida ] .
Condición de delimitación
Podemos fortalecer la condición de delimitación en si f ( x ) es continua. Si es analítica en la tira , y si , donde K es una constante positiva, entonces f ( x ) como se define por la integral de inversión existe y es continua; además, la transformada de Mellin de f es por al menos .
Por otro lado, si estamos dispuestos a aceptar una f original que es una función generalizada , podemos relajar la condición de delimitación en para hacerlo simplemente de crecimiento polinomial en cualquier tira cerrada contenida en la tira abierta .
También podemos definir una versión espacial de Banach de este teorema. Si llamamos porel espacio Lp ponderado de funciones valuadas complejas f en los reales positivos tales que
donde ν y p son números reales fijos con p > 1, entonces si f ( x ) está en con , luego pertenece a con y
Aquí se identifican funciones idénticas en todas partes excepto en un conjunto de medida cero.
Dado que la transformada de Laplace de dos lados se puede definir como
estos teoremas también pueden aplicarse inmediatamente.
Ver también
Referencias
- Flajolet, P .; Gourdon, X .; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi : 10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-E .
- McLachlan, NW (1953). Teoría de Variables Complejas y Cálculo de Transformaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
- Titchmarsh, EC (1948). Introducción a la teoría de las integrales de Fourier (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
- Yakubovich, SB (1996). Transformaciones de índice . World Scientific. ISBN 981-02-2216-5.
- Zemanian, AH (1968). Transformaciones integrales generalizadas . John Wiley e hijos.
enlaces externos
- Tablas de transformaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.