La notación implica que se trata de una integral de línea tomada sobre una línea vertical en el plano complejo, cuya parte real c es arbitraria siempre que cumpla ciertas condiciones. Las condiciones bajo las cuales esta inversión es válida se dan en el teorema de inversión de Mellin .
y, a la inversa, podemos obtener la transformada de Mellin a partir de la transformada de Laplace de dos lados mediante
Se puede pensar que la transformada de Mellin se integra usando un kernel x s con respecto a la medida multiplicativa de Haar ,, que es invariante bajo dilatación , así que eso la transformada de Laplace de dos caras se integra con respecto a la medida de Haar aditiva , que es invariante en la traducción, de modo que .
También podemos definir la transformada de Fourier en términos de la transformada de Mellin y viceversa; en términos de la transformada de Mellin y de la transformada de Laplace de dos caras definida anteriormente
Esta integral se conoce como integral de Cahen-Mellin. [2]
Funciones polinomiales
Desde no es convergente para ningún valor de , la transformada de Mellin no está definida para funciones polinómicas definidas en todo el eje real positivo. Sin embargo, al definirlo como cero en diferentes secciones del eje real, es posible tomar la transformada de Mellin. Por ejemplo, si
luego
Por lo tanto tiene un poste simple en y por lo tanto se define para . Del mismo modo, si
luego
Por lo tanto tiene un poste simple en y por lo tanto se define para .
Funciones exponenciales
Para , dejar . Luego
Función Zeta
Es posible utilizar la transformada de Mellin para producir una de las fórmulas fundamentales para la función zeta de Riemann ,. Dejar. Luego
En particular, el establecimiento recupera la siguiente forma de la función gamma
Tira fundamental
Para , deja la tira abierta ser definido para ser todo tal que con La franja fundamental dese define como la franja abierta más grande en la que se define. Por ejemplo, para la franja fundamental de
es Como se ve en este ejemplo, las asintóticas de la función como definir el extremo izquierdo de su franja fundamental, y las asintóticas de la función como definir su punto final correcto. Para resumir usando la notación Big O , si es como y como luego se define en la tira [3]
Una aplicación de esto se puede ver en la función gamma, Desde es como y para todos luego debe estar definido en la tira lo que confirma que es analítico para
Como isometría en espacios L 2
En el estudio de los espacios de Hilbert , la transformada de Mellin a menudo se plantea de una manera ligeramente diferente. Para funciones en(ver espacio Lp ) la banda fundamental siempre incluye, entonces podemos definir un operador lineal como
En otras palabras, hemos establecido
Este operador generalmente se denota simplemente por y se llama la "transformación de Mellin", pero se utiliza aquí para distinguir de la definición utilizada en otras partes de este artículo. El teorema de la inversión de Mellin muestra entonces que es invertible con inverso
Además, este operador es una isometría , es decir para todos (esto explica por qué el factor de se utilizó).
En teoría de la probabilidad
En teoría de la probabilidad, la transformada de Mellin es una herramienta esencial para estudiar las distribuciones de productos de variables aleatorias. [4] Si X es una variable aleatoria, y X + = max { X , 0 } denota su parte positiva, mientras que X - = max {- X , 0 } es su parte negativa, entonces la transformada de Mellin de X se define como [5]
donde γ es un indeterminado formal con γ 2 = 1 . Esta transformada existe para todos los s en alguna tira compleja D = { s : a ≤ Re ( s ) ≤ b } , donde a ≤ 0 ≤ b . [5]
La transformación de Mellin de una variable aleatoria X determina de forma única su función de distribución F X . [5] La importancia de la transformada de Mellin en la teoría de la probabilidad radica en el hecho de que si X e Y son dos variables aleatorias independientes, entonces la transformada de Mellin de sus productos es igual al producto de las transformadas de Mellin de X e Y : [6 ]
Problemas con laplaciano en el sistema de coordenadas cilíndricas
En el laplaciano en coordenadas cilíndricas en una dimensión genérica (coordenadas ortogonales con un ángulo y un radio, y las longitudes restantes) siempre hay un término:
Por ejemplo, en coordenadas polares 2-D, el laplaciano es:
y en coordenadas cilíndricas 3-D el laplaciano es,
Este término puede tratarse fácilmente [ aclaración necesaria ] con la transformada de Mellin, [7] ya que:
Por ejemplo, la ecuación de Laplace 2-D en coordenadas polares es el PDE en dos variables:
y por multiplicación:
con una transformada de Mellin en el radio se convierte en el oscilador armónico simple :
con solución general:
Ahora impongamos, por ejemplo, algunas condiciones de contorno de cuña simples a la ecuación de Laplace original:
estos son particularmente simples para la transformación de Mellin, convirtiéndose en:
Estas condiciones impuestas a la solución la particularizan para:
Ahora, según el teorema de convolución para la transformada de Mellin, la solución en el dominio de Mellin se puede invertir:
donde se empleó la siguiente relación de transformación inversa:
dónde .
Aplicaciones
La Transformada de Mellin se usa ampliamente en ciencias de la computación para el análisis de algoritmos [ aclaración necesaria ] debido a su propiedad de invariancia de escala . La magnitud de la Transformada de Mellin de una función escalada es idéntica a la magnitud de la función original para entradas puramente imaginarias. Esta propiedad de invariancia de escala es análoga a la propiedad de invariancia de desplazamiento de la transformada de Fourier. La magnitud de una transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es idéntica a la magnitud de la transformada de Fourier de la función original.
Esta propiedad es útil en el reconocimiento de imágenes . La imagen de un objeto se escala fácilmente cuando el objeto se acerca o se aleja de la cámara.
En la mecánica cuántica y especialmente en la teoría cuántica de campos , el espacio de Fourier es enormemente útil y se usa ampliamente porque el momento y la posición son transformadas de Fourier entre sí (por ejemplo, los diagramas de Feynman se calculan mucho más fácilmente en el espacio de momento). En 2011, A. Liam Fitzpatrick , Jared Kaplan , João Penedones , Suvrat Raju y Balt C. van Rees demostraron que el espacio Mellin cumple una función análoga en el contexto de la correspondencia AdS / CFT . [8] [9] [10]
Ejemplos de
La fórmula de Perron describe la transformada inversa de Mellin aplicada a una serie de Dirichlet .
La transformada de Mellin se usa en el análisis de la función de conteo de primos y ocurre en discusiones sobre la función zeta de Riemann .
Las transformadas inversas de Mellin ocurren comúnmente en medios de Riesz .
La transformada de Mellin se puede utilizar en la modificación del tono de la escala de tiempo del audio [ cita requerida ] .
Ver también
Teorema de inversión de Mellin
Fórmula de Perron
Teorema maestro de Ramanujan
Notas
^ Whittaker, ET ; Watson, GN (1996). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge.
^Hardy, GH ; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y la teoría de la distribución de primas" . Acta Mathematica . 41 (1): 119-196. doi : 10.1007 / BF02422942 . (Véanse las notas en el mismo para obtener más referencias al trabajo de Cahen y Mellin, incluida la tesis de Cahen).
^Flajolet, P .; Gourdon, X .; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi : 10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-e .
^ Galambos y Simonelli (2004 , p. 15)
↑ a b c Galambos y Simonelli (2004 , p. 16)
^ Galambos y Simonelli (2004 , p. 23)
^ Bhimsen, Shivamoggi, Capítulo 6: La Transformada de Mellin, par. 4.3: Distribución de un potencial en una cuña, págs. 267–8
^ A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, Joao Penedones, Suvrat Raju, Balt C. van Rees. "Un lenguaje natural para correlacionadores AdS / CFT" .
^ A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan. "Unitaridad y la matriz S holográfica"
^ A. Liam Fitzpatrick. "AdS / CFT y la Holográfica S-Matrix" , video conferencia.
Referencias
Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones integrales y sus aplicaciones . Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Productos de variables aleatorias: aplicaciones a problemas de física y funciones aritméticas . Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
París, RB; Kaminski, D. (2001). Asintóticos e integrales de Mellin-Barnes . Prensa de la Universidad de Cambridge.
Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
Flajolet, P .; Gourdon, X .; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi : 10.1016 / 0304-3975 (95) 00002-e .
Tablas de transformaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
"Transformada de Mellin" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Transformación de Mellin" . MathWorld .
Algunas aplicaciones de la transformada de Mellin en estadística ( artículo )
enlaces externos
Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas.
Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico , newsgroup es.ciencia.matematicas
Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (en español).
Mellin Transform Methods , Biblioteca digital de funciones matemáticas , 2011-08-29, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
Antonio De Sena y Davide Rocchesso, UNA TRANSFORMACIÓN RÁPIDA DE MELLIN CON APLICACIONES EN DAFX