En matemáticas , en el área del análisis complejo , el teorema de Nachbin (llamado así por Leopoldo Nachbin ) se usa comúnmente para establecer un límite en las tasas de crecimiento para una función analítica . Este artículo proporciona una breve revisión de las tasas de crecimiento, incluida la idea de una función de tipo exponencial . La clasificación de las tasas de crecimiento basada en el tipo ayuda a proporcionar una herramienta más fina que la notación O grande o de Landau , ya que se pueden establecer varios teoremas sobre la estructura analítica de la función acotada y sus transformadas integrales . En particular, el teorema de Nachbin puede usarse para dar el dominio de convergencia de latransformada de Borel generalizada , que se muestra a continuación.
Tipo exponencial
Una función f ( z ) definida en el plano complejo se dice que es de tipo exponencial si existen constantes M y α tales que
en el limite de . Aquí, la variable compleja z se escribió comopara enfatizar que el límite debe mantenerse en todas las direcciones θ. Dejando que α represente el mínimo de todos esos α, entonces se dice que la función f es de tipo exponencial α .
Por ejemplo, deja . Entonces uno dice que es de tipo exponencial π, ya que π es el número más pequeño que limita el crecimiento de a lo largo del eje imaginario. Entonces, para este ejemplo, el teorema de Carlson no se puede aplicar, ya que requiere funciones de tipo exponencial menores que π.
Ψ tipo
La delimitación se puede definir para otras funciones además de la función exponencial. En general, una funciónes una función de comparación si tiene una serie
con para todos n , y
Las funciones de comparación son necesariamente completas , lo que se deduce de la prueba de razón . Sies tal función de comparación, entonces se dice que f es de tipo Ψ si existen constantes M y τ tales que
como . Si τ es el mínimo de todos esos τ, se dice que f es de tipo Ψ τ .
El teorema de Nachbin establece que una función f ( z ) con la serie
es de tipo Ψ τ si y solo si
Transformada de Borel
El teorema de Nachbin tiene aplicaciones inmediatas en situaciones similares al teorema de Cauchy y para transformaciones integrales . Por ejemplo, la transformada de Borel generalizada viene dada por
Si f es de tipo Ψ τ , entonces el exterior del dominio de convergencia de, y todos sus puntos singulares, están contenidos dentro del disco
Además, uno tiene
donde el contorno de integración γ rodea el disco. Esto generaliza la transformada de Borel habitual para el tipo exponencial, donde. También sigue la forma integral de la transformada de Borel generalizada. Dejar ser una función cuya primera derivada está acotada en el intervalo , así que eso
dónde . Entonces la forma integral de la transformada de Borel generalizada es
La transformada de Borel ordinaria se recupera estableciendo . Tenga en cuenta que la forma integral de la transformada de Borel es solo la transformada de Laplace .
Reanimación de Nachbin
La reanudación de Nachbin (transformada de Borel generalizada) se puede utilizar para sumar series divergentes que escapan a la suma de Borel habitual o incluso para resolver (asintóticamente) ecuaciones integrales de la forma:
donde f ( t ) puede o no ser de crecimiento exponencial y el núcleo K ( u ) tiene una transformada de Mellin . La solución se puede obtener como con y M ( n ) es la transformada de Mellin de K ( u ). Un ejemplo de esto es la serie Gram.
en algunos casos como condición adicional requerimos ser finito para y diferente de 0.
Espacio Fréchet
Colecciones de funciones de tipo exponencial puede formar un espacio uniforme completo , a saber, un espacio de Fréchet , por la topología inducida por la familia contable de normas
Ver también
Referencias
- L. Nachbin, "Una extensión de la noción de funciones integrales del tipo exponencial finito", Anais Acad. Brasil. Ciencias. 16 (1944) 143-147.
- Ralph P. Boas, Jr. y R. Creighton Buck, Expansiones polinómicas de funciones analíticas (segunda impresión corregida) , (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Tarjeta de la Biblioteca del Congreso número 63-23263. (Proporciona un enunciado y una prueba del teorema de Nachbin, así como una revisión general de este tema).
- AF Leont'ev (2001) [1994], "Función de tipo exponencial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- AF Leont'ev (2001) [1994], "Transformada de Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press