Menger espacio

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En matemáticas, un espacio de Menger es un espacio topológico que satisface cierto principio básico de selección que generaliza la σ-compacidad . Un espacio de Menger es un espacio en el que para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio hay conjuntos finitos tales que la familia cubre el espacio.${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {U}}_{2},\ldots}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subconjunto {\mathcal {U}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}\subconjunto {\mathcal {U}}_{ 2},\ldots}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\cup \cdots }$

En 1924, Karl Menger ^[1] introdujo la siguiente propiedad básica para espacios métricos: Cada base de la topología contiene una familia contable de conjuntos con diámetros nulos que cubren el espacio. Poco después, Witold Hurewicz ^[2] observó que la propiedad básica de Menger se puede reformular a la forma anterior usando secuencias de cubiertas abiertas.

Menger conjeturó que en ZFC cada espacio métrico de Menger es σ-compacto. AW Miller y DH Fremlin ^[3] probaron que la conjetura de Menger es falsa, mostrando que hay, en ZFC, un conjunto de números reales que es Menger pero no σ-compacto. La prueba de Fremlin-Miller era dicotómica, y el conjunto que atestigua el fracaso de la conjetura depende en gran medida de si cierto axioma (indecidible) se cumple o no.

Bartoszyński y Tsaban ^[4] dieron un ejemplo ZFC uniforme de un subconjunto Menger de la línea real que no es σ-compacto.

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