En matemáticas, un principio de selección es una regla que afirma la posibilidad de obtener objetos matemáticamente significativos seleccionando elementos de secuencias dadas de conjuntos. La teoría de los principios de selección estudia estos principios y sus relaciones con otras propiedades matemáticas. Los principios de selección describen principalmente propiedades de cobertura, propiedades teóricas de medidas y categorías y propiedades locales en espacios topológicos, especialmente espacios funcionales. A menudo, la caracterización de una propiedad matemática utilizando un principio de selección es una tarea no trivial que conduce a nuevos conocimientos sobre la propiedad caracterizada.
Los principales principios de selección
En 1924, Karl Menger [1] introdujo la siguiente propiedad de base para espacios métricos: Cada base de la topología contiene una secuencia de conjuntos con diámetros de fuga que cubren el espacio. Poco después, Witold Hurewicz [2] observó que la propiedad base de Menger es equivalente a la siguiente propiedad selectiva: para cada secuencia de cubiertas abiertas del espacio, uno puede seleccionar un número finito de conjuntos abiertos de cada cubierta en la secuencia, de modo que los conjuntos seleccionados cubrir el espacio. Los espacios topológicos que tienen esta propiedad de cobertura se denominan espacios de Menger .
La reformulación de Hurewicz de la propiedad de Menger fue la primera propiedad topológica importante descrita por un principio de selección. Dejar y ser clases de objetos matemáticos. En 1996, Marion Scheepers [3] introdujo las siguientes hipótesis de selección, capturando un gran número de propiedades matemáticas clásicas:
- : Para cada secuencia de elementos de la clase , hay elementos tal que .
- : Para cada secuencia de elementos de la clase , hay subconjuntos finitos tal que .
En el caso donde las clases y Consisten en cubiertas de un espacio ambiental, Scheepers también introdujo el siguiente principio de selección.
- : Para cada secuencia de elementos de la clase , ninguno contiene una subcubierta finita, hay subconjuntos finitos tal que .
Posteriormente, Boaz Tsaban identificó la prevalencia del siguiente principio relacionado:
- : Cada miembro de la clase contiene un miembro de la clase .
Las nociones así definidas son principios de selección . Una instanciación de un principio de selección, considerando clases específicas y , da una propiedad de selección (o: selectiva) . Sin embargo, estas terminologías se utilizan indistintamente en la literatura.
Variaciones
Para un juego y una familia de subconjuntos de , la estrella de en es el set .
En 1999, Ljubisa DR Kocinac introdujo los siguientes principios de selección de estrellas : [4]
- : Para cada secuencia de elementos de la clase , hay elementos tal que .
- : Para cada secuencia de elementos de la clase , hay subconjuntos finitos tal que .
Propiedades de cobertura
Las propiedades de cobertura forman el núcleo de la teoría de los principios de selección. Las propiedades de selección que no son propiedades de cobertura a menudo se estudian utilizando implicaciones hacia y desde propiedades de cobertura selectiva de espacios relacionados.
Dejar ser un espacio topológico . Una tapa abierta de es una familia de decorados abiertos cuya unión es todo el espacio Por razones técnicas, también solicitamos que todo el espacio no es miembro de la portada. La clase de cubiertas abiertas del espacio. se denota por . (Formalmente,, pero generalmente el espacio se fija en el fondo.) La propiedad mencionada anteriormente de Menger es, por lo tanto, . En 1942, Fritz Rothberger consideró los conjuntos de cero de medida fuerte de Borel e introdujo una variación topológica más tarde llamada espacio de Rothberger (también conocido como Cespacio ). En la notación de selecciones, la propiedad de Rothberger es la propiedad.
Una tapa abierta de es point-cofinite si tiene infinitos elementos, y cada punto pertenece a todos menos a un número finito de conjuntos . (Este tipo de portada fue considerado por Gerlits y Nagy, en el tercer elemento de una cierta lista en su artículo. La lista fue enumerada por letras griegas, por lo que estas portadas a menudo se denominancubiertas .) La clase de cubiertas abiertas de cofinita puntual de se denota por . Un espacio topológico es un espacio de Hurewicz si satisface.
Una tapa abierta de es un -ver si cada subconjunto finito de está contenido en algún miembro de . La clase de-cubiertas de se denota por . Un espacio topológico es un espacio γ si satisface.
Al utilizar hipótesis de selección de estrellas, se obtienen propiedades como star-Menger (), estrella-Rothberger () y estrella-Hurewicz ().
El diagrama de Scheepers
Hay 36 propiedades de selección del formulario. , por y . Algunos de ellos son triviales (mantener para todos los espacios o fallar para todos los espacios). Restringiendo la atención a los espacios de Lindelöf , el diagrama siguiente, conocido como Diagrama de Scheepers , [3] [5] presenta propiedades de selección no triviales de la forma anterior, y cada propiedad de selección no trivial es equivalente a una en el diagrama. Las flechas denotan implicaciones.
Propiedades locales
Los principios de selección también capturan importantes propiedades no cubrientes.
Dejar ser un espacio topológico, y . La clase de conjuntos en el espacio que tiene el punto en su cierre se denota por . La claseconsta de los elementos contables de la clase. La clase de secuencias en que convergen a se denota por .
- Un espacio es Fréchet – Urysohn si y solo si satisface para todos los puntos .
- Un espacio es fuertemente Fréchet – Urysohn si y solo si satisface para todos los puntos .
- Un espacio tiene una tirantez contable si y solo si satisface para todos los puntos .
- Un espacio tiene una estanqueidad del ventilador contable si y solo si satisface para todos los puntos .
- Un espacio tiene una fuerte estanqueidad del ventilador contable si y solo si satisface para todos los puntos .
Juegos topológicos
Existen estrechas conexiones entre los principios de selección y los juegos topológicos .
El juego de Menger
Dejar ser un espacio topológico. El juego de Menger jugado en es un juego para dos jugadores, Alice y Bob. Tiene una entrada por cada número natural.. En el entrada, Alice elige una tapa abierta de , y Bob elige un subconjunto finito de . Si la familia es una tapa del espacio , luego Bob gana el juego. De lo contrario, Alice gana.
Una estrategia para un jugador es una función que determina el movimiento del jugador, dados los movimientos anteriores de ambos jugadores. Una estrategia para un jugador es una estrategia ganadora si cada jugada en la que este jugador se apega a esta estrategia es ganada por este jugador.
- Un espacio topológico es si y solo si Alice no tiene una estrategia ganadora en el juego jugado en este espacio. [2] [3]
- Dejar ser un espacio métrico. Bob tiene una estrategia ganadora en el juego. jugado en el espacio si y solo si el espacio es -compacto. [6] [7]
Tenga en cuenta que entre los espacios de Lindelöf, metrizable es equivalente a regular y segundo contable, por lo que el resultado anterior puede obtenerse alternativamente considerando estrategias de información limitada . [8] Una estrategia de Markov es aquella que solo usa el movimiento más reciente del oponente y el número de ronda actual.
- Dejar ser un espacio regular. Bob tiene una estrategia ganadora de Markov en el juego jugado en el espacio si y solo si el espacio es -compacto.
- Dejar ser un segundo espacio contable. Bob tiene una estrategia ganadora de Markov en el juego jugado en el espacio si y solo si tiene una estrategia ganadora de información perfecta.
De manera similar, definimos juegos para otros principios de selección del Diagrama de Scheepers dado. En todos estos casos, un espacio topológico tiene una propiedad del Diagrama de Scheepers si y solo si Alice no tiene una estrategia ganadora en el juego correspondiente. [9] Pero esto no es válido en general; Francis Jordan demostró un espacio donde Alice tiene una estrategia ganadora para, pero el principio de selección falla. [10]
Ejemplos y propiedades
- Cada el espacio es un espacio Lindelöf .
- Cada espacio σ-compacto (una unión contable de espacios compactos) es.
- .
- .
- Suponiendo la hipótesis del continuo , hay conjuntos de números reales que dan testimonio de que las implicaciones anteriores no se pueden revertir. [5]
- Cada conjunto de Luzin es pero no . [11] [12]
- Cada set de Sierpiński es Hurewicz. [13]
Subconjuntos de la línea real (con la topología subespacial inducida ) que tienen propiedades del principio de selección, más notablemente los espacios de Menger y Hurewicz, se pueden caracterizar por sus imágenes continuas en el espacio de Baire . Para funciones, escribir Si para todos menos para un número finito de números naturales . Dejar ser un subconjunto de . El conjuntoestá acotado si hay una función tal que para todas las funciones . El conjuntoes dominante si para cada función hay una función tal que .
Conexiones con otros campos
Topología general
Sea P una propiedad de los espacios. Un espacioes productivamente P si, para cada espaciocon la propiedad P , el espacio del productotiene la propiedad P .
- Cada espacio separable productivamente paracompacto es.
- Asumiendo la Hipótesis del Continuum , cada espacio productivo de Lindelöf es productivamente[dieciséis]
- Dejar ser un subconjunto de la línea real, y ser un pequeño subconjunto de la línea real. Entonces el setes escaso. [17]
Teoría de la medida
- Cada subconjunto de la línea real es un conjunto cero de medida fuerte . [11]
Espacios funcionales
Dejar ser un espacio de Tychonoff , y ser el espacio de funciones continuas con topología de convergencia puntual .
- satisface si y solo si es Fréchet – Urysohn si y solo sies fuerte Fréchet-Urysohn . [18]
- satisface si y solo si tiene una fuerte estanqueidad del ventilador contable . [19]
- satisface si y solo si Tiene hermeticidad de ventilador contable . [20] [5]
Ver también
- Espacio compacto
- Sigma-compacto
- Espacio Menger
- Espacio Hurewicz
- Espacio Rothberger
Referencias
- ^ Menger, Karl (1924). Einige Überdeckungssätze der punktmengenlehre . Sitzungsberichte der Wiener Akademie . 133 . págs. 421–444. doi : 10.1007 / 978-3-7091-6110-4_14 . ISBN 978-3-7091-7282-7.
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