En las matemáticas , un espacio topológico se dice que es σ-compacto si se trata de la unión de numerable muchos compactos subespacios . [1]
Se dice que un espacio es σ-localmente compacto si es tanto σ-compacto como localmente compacto . [2]
Propiedades y ejemplos
- Cada espacio compacto es σ-compacto, y cada espacio σ-compacto es Lindelöf (es decir, cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable ). [3] Las implicaciones inversas no se cumplen, por ejemplo, el espacio euclidiano estándar ( R n ) es σ-compacto pero no compacto, [4] y la topología de límite inferior en la línea real es Lindelöf pero no σ-compacto. [5] De hecho, la topología del complemento contable en cualquier conjunto incontable es Lindelöf pero ni σ-compacto ni localmente compacto. [6] Sin embargo, es cierto que cualquier espacio Lindelöf localmente compacto es σ-compacto.
- Un espacio de Hausdorff , Baire que también sea σ-compacto, debe ser localmente compacto en al menos un punto.
- Si G es un grupo topológico y G es localmente compacto en un punto, entonces G es localmente compacto en todas partes. Por lo tanto, la propiedad anterior nos dice que si G es un grupo topológico de Hausdorff σ-compacto que también es un espacio de Baire, entonces G es localmente compacto. Esto muestra que para los grupos topológicos de Hausdorff que también son espacios de Baire, la compacidad σ implica compacidad local.
- La propiedad anterior implica, por ejemplo, que R ω no es σ-compacto: si fuera σ-compacto, necesariamente sería localmente compacto ya que R ω es un grupo topológico que también es un espacio de Baire.
- Cada espacio hemicompacto es σ-compacto. [7] Lo contrario, sin embargo, no es cierto; [8] por ejemplo, el espacio de los racionales , con la topología habitual, es σ-compacto pero no hemicompacto.
- El producto de un número finito de espacios σ-compactos es σ-compacto. Sin embargo, el producto de un número infinito de espacios σ-compactos puede no ser σ-compacto. [9]
- Un espacio σ-compacto X es segunda categoría (respectivamente Baire) si y sólo si el conjunto de puntos en los que es X es localmente compacto es no vacío (respectivamente denso) en X . [10]
Ver también
Notas
Referencias
- Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr .; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.