Método de imágenes

El método de imágenes (o método de imágenes especulares ) es una herramienta matemática para resolver ecuaciones diferenciales , en la que el dominio de la función buscada se amplía mediante la adición de su imagen especular con respecto a un hiperplano de simetría . Como resultado, ciertas condiciones de contornose satisfacen automáticamente con la presencia de una imagen especular, lo que facilita enormemente la solución del problema original. El dominio de la función no se amplía. La función está hecha para satisfacer condiciones de contorno dadas colocando singularidades fuera del dominio de la función. Las singularidades originales están dentro del dominio de interés. Las singularidades adicionales (ficticias) son un artefacto necesario para satisfacer las condiciones de frontera prescritas pero aún insatisfechas.

Método de carga de imágenes

El campo de una carga positiva sobre una superficie conductora plana, encontrado por el método de imágenes.

Artículo principal: Método de cargos por imagen

El método de cargas de imagen se utiliza en electrostática para simplemente calcular o visualizar la distribución del campo eléctrico de una carga en las proximidades de una superficie conductora. Se basa en el hecho de que la componente tangencial del campo eléctrico en la superficie de un conductor es cero, y que un campo eléctrico E en alguna región se define de manera única por su componente normal sobre la superficie que confina esta región (el teorema de unicidad ). ^[1]

Sistemas de imanes superconductores

Más información: método de imagen de espejo congelado

Un dipolo magnético sobre la superficie superconductora. El campo entre el imán y la superficie es el mismo que entre este imán y uno simétrico.

El método de imágenes también se puede utilizar en magnetostática para calcular el campo magnético de un imán que está cerca de una superficie superconductora. El superconductor en el llamado estado de Meissner es un diamagnet ideal en el que no penetra el campo magnético. Por lo tanto, la componente normal del campo magnético en su superficie debería ser cero. Entonces la imagen del imán debe reflejarse. Por tanto, la fuerza entre el imán y la superficie superconductora es repulsiva.

En comparación con el caso del dipolo de carga sobre una superficie conductora plana, se puede pensar que el vector de magnetización reflejado se debe a un cambio de signo adicional de un vector axial .

Para tener en cuenta el fenómeno de fijación de flujo magnético en superconductores de tipo II , se puede utilizar el método de imagen de espejo congelado . ^[2]

Transporte masivo en caudales ambientales con dominios no infinitos

Los ingenieros ambientales a menudo están interesados ​​en el reflejo (y en ocasiones la absorción) de una pluma contaminante fuera de un límite impenetrable (sin flujo). Una forma rápida de modelar este reflejo es con el método de imágenes.

Los reflejos, o imágenes , están orientados en el espacio de tal manera que reemplazan perfectamente cualquier masa (de la pluma real) que atraviese un límite dado. ^[3] Un solo límite requerirá una sola imagen. Dos o más límites producen imágenes infinitas. Sin embargo, a los efectos de modelar el transporte masivo, como la propagación de un derrame de contaminantes en un lago, puede ser innecesario incluir un conjunto infinito de imágenes cuando existen múltiples límites relevantes. Por ejemplo, para representar el reflejo dentro de un cierto umbral de precisión física, se puede optar por incluir solo las imágenes primarias y secundarias.

El caso más simple es un límite único en un espacio unidimensional. En este caso, solo es posible una imagen. Si a medida que pasa el tiempo, una masa se acerca al límite, entonces una imagen puede describir apropiadamente el reflejo de esa masa a través del límite.

En algún momento (t1) una masa tiene una distribución gaussiana aproximada a la derecha del límite impenetrable en el espacio 1D. En un momento posterior (t2), la masa se ha difundido "a través" del límite, y la masa perdida a través del límite se refleja de nuevo a través del límite por la imagen primaria. Tenga en cuenta que el centro de masa no cambia con el tiempo, ya que no hay advección, solo difusión. El eje vertical es la concentración esperada (del contaminante), el eje horizontal es la dirección x.

Otro ejemplo simple es un límite único en un espacio bidimensional. Nuevamente, dado que solo hay un límite, solo se necesita una imagen. Esto describe una chimenea, cuyo efluente "se refleja" en la atmósfera fuera del suelo impenetrable, y por lo demás es aproximadamente ilimitado.

Esta es una imagen de una columna contaminante emitida desde una chimenea en un espacio bidimensional. La chimenea y su pluma se reflejan a través del eje x, para tener en cuenta la masa del contaminante que rebota y (perfectamente) se refleja en el límite (el suelo). Cualquier masa que se pierda de la pluma original es reemplazada por la imagen. El eje vertical es la dirección z, el eje horizontal es la dirección x.

Finalmente, consideramos una liberación masiva en un espacio unidimensional limitado a su izquierda y derecha por límites impenetrables. Hay dos imágenes primarias, cada una reemplazando la masa del lanzamiento original que se refleja a través de cada límite. Hay dos imágenes secundarias, cada una reemplazando la masa de una de las imágenes primarias que fluye a través del límite opuesto. También hay dos imágenes terciarias (reemplazando la masa perdida por las imágenes secundarias), dos imágenes cuaternarias (reemplazando la masa perdida por las imágenes terciarias), y así sucesivamente ad infinitum.

Lanzamiento masivo con dos límites impenetrables en un espacio unidimensional. El eje vertical es la concentración esperada (del contaminante), el eje horizontal es la dirección x.

Para un sistema dado, una vez que todas las imágenes están cuidadosamente orientadas, el campo de concentración se obtiene sumando las liberaciones masivas (la pluma verdadera además de todas las imágenes) dentro de los límites especificados. Este campo de concentración solo es físicamente exacto dentro de los límites; el campo fuera de los límites no es físico e irrelevante para la mayoría de los propósitos de ingeniería.

Matemáticas

Este método es una aplicación específica de las funciones de Green ^{[ cita requerida ]} . El método de imágenes funciona bien cuando el límite es una superficie plana y la distribución tiene un centro geométrico. Esto permite una simple reflexión similar a un espejo de la distribución para satisfacer una variedad de condiciones de contorno. Considere el caso 1D simple ilustrado en el gráfico donde hay una distribución de en función de y un solo límite ubicado en con el dominio real tal que y el dominio de la imagen . Considere la solución para satisfacer la ecuación diferencial lineal para cualquier condición de frontera, pero no necesariamente.${\displaystyle \langle c\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{b}}$${\displaystyle x\geq x_{b}}$${\displaystyle x<x_{b}}$${\displaystyle f(\pm x+x_{0},t)}$${\displaystyle x_{0}}$

Tenga en cuenta que estas distribuciones son típicas en modelos que asumen una distribución gaussiana . Esto es particularmente común en la ingeniería ambiental, especialmente en los flujos atmosféricos que utilizan modelos de pluma gaussiana .

Reflejando perfectamente las condiciones de contorno

El enunciado matemático de una condición de contorno que refleja perfectamente es el siguiente:

${\displaystyle \nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =0}$

Esto establece que la derivada de nuestra función escalar no tendrá derivada en la dirección normal a una pared. En el caso 1D, esto se simplifica a:${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d\langle c\rangle }{dx}}=0}$

Esta condición se aplica con imágenes positivas para que ^{[ cita requerida ]} :

${\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)+f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}$

donde traduce y refleja la imagen en su lugar. Tomando la derivada con respecto a :${\displaystyle -x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b}))}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d\langle c\rangle }{dx}}{\bigg |}_{x_{b}}={\frac {df(x-x_{0},t)}{dx}}{\bigg |}_{x_{b}}+{\frac {df(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}{dx}}{\bigg |}_{x_{b}}={\frac {df(x,t)}{dx}}{\bigg |}_{x_{b}-x_{0}}-{\frac {df(x,t)}{dx}}{\bigg |}_{x_{b}-x_{0}}=0}$

Por lo tanto, se satisface la condición de contorno que refleja perfectamente.

Condiciones de contorno perfectamente absorbentes

La declaración de una condición de frontera perfectamente absorbente es la siguiente ^{[ cita requerida ]} :

${\displaystyle y(x_{b})=0}$

Esta condición se aplica mediante una imagen reflejada negativa:

${\displaystyle \langle c\rangle =f(x-x_{0},t)-f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}$

Y:

${\displaystyle \langle c\rangle {\bigg |}_{x_{b}}=f(x_{b}-x_{0},t)-f(-x_{b}+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)=f(x_{b}-x_{0},t)-f(x_{b}-x_{0},t)=0}$

Por tanto, esta condición de frontera también se satisface.

Referencias

1. * JD Jackson (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-30932-1.
2. Kordyuk, AA (1998). "Levitación magnética para superconductores duros" (PDF) . Revista de Física Aplicada . 83 (1): 610–611. Código Bibliográfico : 1998JAP .... 83..610K . doi : 10.1063 / 1.366648 .
3. http://web.mit.edu/fluids-modules/www/potential_flows/LecturesHTML/lec1011/node37.html